Volgens mij stel je de vergelijking om te beginnen goed op. Ik zie dat je het massatraagheidsmoment I ten opzichte van het draaipunt links gebruikt in je vergelijking (je werkt met momenten en hoek, terecht lijkt me, in principe is je vergelijking alleen geldig voor kleine hoek φ want voor grote φ is bijvoorbeeld het moment van de zwaartekracht niet meer constant omdat de arm van de kracht groter wordt, in essentie benader je sin(φ) met φ)
Het massatraagheidsmoment is de integraal van r
2dm over het hele ding, als je dat uitrekent (integreer over de lengte, gebruik voor ρ de dichtheid per lengteenheid van de plank=dichtheid per volume x breedte x dikte) Dan kom je op 1/3ρb
3= 1/3mb2. Dus dat zou je voor I moeten invullen.
Verder wordt gevraagd naar de uitwijking als een sinusvormig veranderende kracht F(t) aan het uiteinde wordt uitgeoefend. Daarom zou ik de exitatie F binnen de bewegingsvergelijking halen (gewoon bF er bij optellen) gemakkelijk voor onderdeel d.
Hier onder staat hoe ik het lang geleden heb geleerd, achtergrond elektrotechniek, mogelijk formuleer ik het een beetje anders dan werktuigbouwers maar de theorie van massa demper veer systemen met kracht en positie is wiskundig exact hetzelfde als die van LRC systemen met spanning en stroom.
Als zaken als Laplace transformatie en overdrachtsfuncties bekend zijn inclusief de toepassing: hoe je uit een exitatie (als de kracht die wordt uitgeoefend op het systeem) een respons bepaalt (als de positie uitgedrukt in de hoek φ) m.b.v. de overdrachtsfunctie en Laplacetransformatie, kun je het zo oplossen:
De bewegingsvergelijking kun je transformeren naar een overdachtsfunctie: H(s).
Dan de overdrachtsfunctie: H(s) = Φ(s)/F(s) bepalen, daaruit kun je de eigenfrequenties halen en de dempingscoëfficiënt bepalen. Dat is allemaal standaardwerk voor een 2e orde systeem, zie
wikipedia
Φ(s) stelt hierin de Laplace getransformeerde van de tijdfunctie φ(t) voor.
Of de demping kritisch is moet nog maar blijken (de dempingsfactor is in dat geval 1); de vraag lijkt me niet goed gesteld.
Voor de respons op sinusvormige exitaties met frequentie ω geldt dat de amplitude van de respons gedeeld door die van de exitatie gelijk is aan de norm van de (complexe) overdrachtsfunctie H(jω).
Je kunt de overdrachtsfunctie opvatten als een frequentie afhankelijke versterkingsfactor waarvan de norm de versterking is en het argument de faseverschuiving.
De rest is een beetje rekenwerk. Alles nog steeds onder de aanname dat de hoek φ klein blijft want anders kloppen de vergelijkingen niet meer zo goed.
