Springen naar inhoud

[bewijs] een getal deelbaar door drie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

rodeo.be

    rodeo.be


  • >250 berichten
  • 647 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 januari 2006 - 13:44

bewijs het volgende:

bij een getal dat deelbaar is door drie, is de som van zijn cijfers ook deelbaar door drie


mijn bewijs:

noem het getal a

de eigenschap geldt voor a=3,6 en 9. We bewijzen het met inductie.

schrijf a als 10.b+c (c is een cijfer, b een willekeurig getal).

a mod 3 = 1
=> (10.b+c) mod 3 = 1
=> (10.b) mod 3 + c mod 3 =1

en nu komt het! 10^n mod 3 is altijd 1 (bewijs: met inductie)

=> (10 mod 3).(b mod 3) + c mod 3 = 1
en dus
b mod 3 + c mod 3 = 1.

ik heb nu bewezen dat als de eig. geldt voor getallen tot 10^n (reeds aangetoond), het ook geldt voor getallen tot 10^{n+1}.



klopt het zowat?
???

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 januari 2006 - 14:43

toch raar hoor
waarom schrijf jij altijd =1 mod 3 ipv nul?
en sterker, waarom is het in het wit, als je het niet selecteert kan ik het niet lezen

wat dacht je van dit bewijs a*10^n+b*10^(n-1)+......y*10+z =
a+b+c+......y+z (mod 3)

om de simpele reden dat 10^n voor alle n>=0 congruent is met 1 mod 3

je kan dat met inductie bewijzen , maar je kan ook deze eigenschap gebruiken : a-b deelt (a^n-b^n)
dus 10-1 deelt (10^n-1)

of dus 10^n-1 is een drievoud , of anders gezegd 10^n=1 mod 3


nog iets : je kan het sterker maken en alles herhalen voor deelbaarheid door negen, zoals je ziet met die 10-1 hierboven laten we een stukje onbenut he?(what a waste! :wink: )

#3

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 januari 2006 - 15:21

bewijs het volgende:

bij een getal dat deelbaar is door drie, is de som van zijn cijfers ook deelbaar door drie


Als a een geheel getal is dan is x = 3*a een geheel getal dat deelbaar is door 3.

Het getal x is te schrijven als:

De som van n=0 tot N van (d_n*10^n) waarbij d_n een element is uit [0, 1, 2, ..., 9]

d_n*10^n = d_n*( 1 - 1 + 10^n) = d_n + d_n*(-1 + 10^n)

dus de som is te schrijven als:

x = som(d_n) + som(d_n*(-1 + 10^n))

x moet deelbaar zijn door 3 en (-1 + 10^n) is altijd deelbaar door 3. Hieruit volgt dat som(d_n) ook deelbaar moet zijn door 3 (anders is a geen geheel getal).

#4

rodeo.be

    rodeo.be


  • >250 berichten
  • 647 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 januari 2006 - 12:29

toch raar hoor  
waarom schrijf jij altijd =1 mod 3 ipv nul?
en sterker, waarom is het in het wit, als je het niet selecteert kan ik het niet lezen

1. foutje:lol:

2. ik gooi de vraag in de groep (daarom maak ik er een "spoiler" van)
???

#5

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 januari 2006 - 13:17

waarom moet ik u bewijs selecteren alvorens ik het kan zien? wat bedoel je met een spoiler?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 januari 2006 - 13:19

Dat doet hij zodat je het niet kan zien als je dat nog niet wil, om bvb eerstzelf te zoeken. Wie het wel wil zien kan dat door het te selecteren. Op sommige forums is zo'n functie 'ingebouwd' en is dat meestal met "spoiler"-tags, zoals de quote-tags etc.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures