Zijden van een driehoek met omtrekshoek bepalen

Pinecone

Goedenavond,

Ik ben bezig met een technisch probleem, ik heb het inmiddels gerduceerd tot een goniometrisch probleem. Eea heb ik tot een cirkel met daarin een driehoek gemaakt. Van deze driehoek weet ik dat er een omtrekshoek in zit, en dus uit de stelling van Thales dat een van de hoeken recht is. Zie ook bijgevoegde tekening.

Verder weet ik dat de straal van de cirkel 3h is, dat dy tussen punten beta en alpha = h en dx tussen deze punten is 14. Zie ook tekening.

Nu ben ik naarstig op zoek naar de lengte van zijde c... Ik kom niet verder dan met de sinusregel en pythagoras bewijzen dat 6h = 6h.

Een duwtje in de goede richting zou zeer welkom zijn! Alvast bedankt

tempelier

Dat 6h=6h is iets wat moeilijk valt te bestrijden.

Maar een oplossing zie ik eigenlijk niet.
Want als de waarde 14 in 13 wordt verandert dan lijkt me de tekening (na wat draaien) nog steeds mogelijk.

Natuurlijk ligt c vast in termen van h maar daar zal het niet om begonnen zijn.

Kan zijn dat me iets ontgaat in de tekening of dat iets niet vermeld is.

Pinekone

Goedemorgen tempelier,

Bedankt voor de reactie.

Laat ik het probleem terug brengen naar de basis:

gegeven zijn twee punten, P en Q. Zie nieuwe tekening.

De horizontale afstand tussen deze punten is x, deze is gegeven (14 in dit geval);
De verticale afstand tussen deze punten is h, uiteindelijk wil ik h bepalen;
Verder is gegeven dat de punten P en Q op een cirkel liggen met straal = 3H.

Hoe bepaal ik nu H met deze gegevens?

: Driehoek.jpg (31.92 KiB) 611 keer bekeken

Safe

Er zit nog een vrijheidsgraad in nl de positie van P op de cirkel.
Je kan dat (als gewenst?) als parameter invoeren ...

Flisk

Er is inderdaad te weinig informatie om het probleem op te lossen. Door twee punten gaan oneindig veel cirkels. Als je H vergroot kan je nog steeds een cirkel vinden met straal 3H. Let op, er is wel een minimumwaarde voor H, kleiner dan een bepaalde waarde kan je geen passende cirkel meer vinden.

Pinekone

Goedemiddag allemaal, bedankt voor de hulp.

Flisk: hoe zou de minimumwaarde van H bepaald moeten worden? in principe ben ik daar naar op zoek denk ik.

Verder stel ik dat beide punten binnen hetzelfde kwadrant liggen, anders zou immers een kleinere cirkel kunnen volstaan. De kleinste cirkel met straal 3H raakt beide punten P en Q, dus dan zou de kleinste H toch voldoen?

Ik begrijp uit dat je zegt dat er een oneindig aantal cirkels mogelijk zijn dat deze gewoon groter en groter kunnen worden. Maar dan is de straal toch niet meer 3H, met het gegeven dat dX = een vaste waarde?

Safe schreef: Er zit nog een vrijheidsgraad in nl de positie van P op de cirkel.
Je kan dat (als gewenst?) als parameter invoeren ...

Beste Safe,

P ligt in hetzelfde kwadrant als Q, met de eis dat dx=14 en dy=H.

Hoe zou ik dat kunnen invoeren?

Safe

Vraag: is h vast?

Bekijk twee gevallen: P uiterst rechts op de cirkel (nu ligt Q vast) en Q in het onderste punt van de cirkel (dan ligt P vast)

Het is mij niet duidelijk uit welk probleem deze analyse voortkomt ... , maw wat is je probleem?

Flisk

Pinekone schreef: Flisk: hoe zou de minimumwaarde van H bepaald moeten worden? in principe ben ik daar naar op zoek denk ik.
Verder stel ik dat beide punten binnen hetzelfde kwadrant liggen, anders zou immers een kleinere cirkel kunnen volstaan.

Als je de minimum waarde voor H bepaalt zullen beide punten overigens niet in hetzelfde kwadrant liggen.

Pinekone schreef: Ik begrijp uit dat je zegt dat er een oneindig aantal cirkels mogelijk zijn dat deze gewoon groter en groter kunnen worden. Maar dan is de straal toch niet meer 3H, met het gegeven dat dX = een vaste waarde?

Bij een vaste H, is er inderdaad slechts één cirkel die correspondeert met de tekening. Het probleem is echter dat je H kan vergroten en nog steeds een passende tekening kan maken. Jij wilt H bepalen, terwijl je die zonder problemen kan veranderen. M.a.w. de tekening geeft onvoldoende informatie om H vast te leggen.

Pinecone schreef: Ik ben bezig met een technisch probleem, ik heb het inmiddels gerduceerd tot een goniometrisch probleem.

Kan je anders het technisch probleem eens geven?

Pinekone

Flisk schreef: Als je de minimum waarde voor H bepaalt zullen beide punten overigens niet in hetzelfde kwadrant liggen.

Bij een vaste H, is er inderdaad slechts één cirkel die correspondeert met de tekening. Het probleem is echter dat je H kan vergroten en nog steeds een passende tekening kan maken. Jij wilt H bepalen, terwijl je die zonder problemen kan veranderen. M.a.w. de tekening geeft onvoldoende informatie om H vast te leggen.

Kan je anders het technisch probleem eens geven?

Natuurlijk, omdat de kleinste cirkel de cirkel is met de afstand tussen P en Q als diameter. En die is natuurlijk ongelijk aan H.

Is het mogelijk om de kleinste H te bepalen, met gegeven P en Q in hetzelfde kwadrant en verder dezelfde eisen?

Misschien zit ik compleet verkeerd te denken hoor met een oplossing op basis van goniometrie.

De achtergrond:
Ik wil een bliksembeveiliging uitrekenen: hoe hoog moet deze boven een bepaalde component welke beschermd moet worden? Er is een IEC-norm die hier iets over roept: de top van de bliksembeveiliging en de top van het te beschermen object liggen beiden op een cirkel met straal 3H. En H is het hoogteverschil tussen top van de beveiliging en top van het object. Ze liggen 14 meter horizontaal (over de grond) uit elkaar.

maar ik zie geen andere methode dan trial-and-error om H te bepalen, en dat lijkt mij niet de bedoeling van het mooie vak Wiskunde toch?

Safe schreef: Vraag: is h vast?

Bekijk twee gevallen: P uiterst rechts op de cirkel (nu ligt Q vast) en Q in het onderste punt van de cirkel (dan ligt P vast)

Het is mij niet duidelijk uit welk probleem deze analyse voortkomt ... , maw wat is je probleem?

H is het antwoord op het stelsel eisen:

beide punten liggen op een cirkel met straal 3H
dy tussen deze punten is H
dx tussen deze punten is gegeven (14 in dit geval, maar in een vergelijking altijd een bekende)

Als de cirkel te klein is, vallen P en Q niet in hetzelfde kwadrant, maar dan is 3H sowieso de straal niet meer toch?

Bartjes

Ga uit van een rechthoekige driehoek QOP met basis x en hoogte h. De rechte hoek bevindt zich bij O. Teken dan cirkels om P en Q met straal 3h. Zolang die cirkels elkaar snijden is er een cirkel met straal 3h die dat snijpunt als middelpunt heeft en die door zowel P als Q gaat.

De kleinst mogelijke waarde van h waarbij er nog een door P en Q gaande cirkel te vinden is treedt derhalve op indien: PQ = 2.(3h) . Zodat we (voor positieve x en h_min ) vinden dat:

\( x^2 + (h_{min})^2 = (6.h_{min})^2 \)

\( x^2 + (h_{min})^2 = 36.(h_{min})^2 \)

\( x^2 = 35.(h_{min})^2 \)

\( (h_{min})^2 = \frac{1}{35} . \, x^2 \)

\( (h_{min})^2 = \frac{\, 35 \,}{35^2} . \, x^2 \)

\( h_{min} = \frac{1}{35} \, \sqrt{35} \,\, . \, x \)

Pinekone

Bartjes schreef: Ga uit van een rechthoekige driehoek QOP met basis x en hoogte h. De rechte hoek bevindt zich bij O. Teken dan cirkels om P en Q met straal 3h. Zolang die cirkels elkaar snijden is er een cirkel met straal 3h die dat snijpunt als middelpunt heeft en die door zowel P als Q gaat.

De kleinst mogelijke waarde van h waarbij er nog een door P en Q gaande cirkel te vinden is treedt derhalve op indien: PQ = 2.(3h) . Zodat we (voor positieve x en h_min ) vinden dat:

\( x^2 + (h_{min})^2 = (6.h_{min})^2 \)

\( x^2 + (h_{min})^2 = 36.(h_{min})^2 \)

\( x^2 = 35.(h_{min})^2 \)

\( (h_{min})^2 = \frac{1}{35} . \, x^2 \)

\( (h_{min})^2 = \frac{\, 35 \,}{35^2} . \, x^2 \)

\( h_{min} = \frac{1}{35} \, \sqrt{35} \,\, . \, x \)

Beste Bartjes, bedankt hiervoor.

Ik vrees dat ik een fout heb gemaakt in mijn omschrijving. Jouw afleiding is helemaal juist, maar geeft mij niet het antwoord dat ik zoek.

Bijgevoegd heb ik een plaatje met een gegeven x=4 en h=3. Eea uitgetekend kom ik inderdaad op jouw methode met twee cirkels tot een nieuwe cirkel met straal 3h die beide punten snijdt. Echter, invullen van de vergelijking geeft een andere h dan waar ik mee begon. Hoe toon ik nou aan dat een bepaalde h waarde bij een gegeven x waarde tot een cirkel met straal 3h die beide punten snijdt komt?

: Driehoekdeel2.jpg (81.42 KiB) 649 keer bekeken

Bartjes

Pinekone schreef:
Beste Bartjes, bedankt hiervoor.

Ik vrees dat ik een fout heb gemaakt in mijn omschrijving. Jouw afleiding is helemaal juist, maar geeft mij niet het antwoord dat ik zoek.

Bijgevoegd heb ik een plaatje met een gegeven x=4 en h=3. Eea uitgetekend kom ik inderdaad op jouw methode met twee cirkels tot een nieuwe cirkel met straal 3h die beide punten snijdt. Echter, invullen van de vergelijking geeft een andere h dan waar ik mee begon. Hoe toon ik nou aan dat een bepaalde h waarde bij een gegeven x waarde tot een cirkel met straal 3h die beide punten snijdt komt?

Driehoekdeel2.jpg

Mijn bewijs geeft enkel de minimaal mogelijke waarde van h bij gegeven x.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Zijden van een driehoek met omtrekshoek bepalen

Zijden van een driehoek met omtrekshoek bepalen

Re: Zijden van een driehoek met omtrekshoek bepalen

Re: Zijden van een driehoek met omtrekshoek bepalen

Re: Zijden van een driehoek met omtrekshoek bepalen

Re: Zijden van een driehoek met omtrekshoek bepalen

Re: Zijden van een driehoek met omtrekshoek bepalen

Re: Zijden van een driehoek met omtrekshoek bepalen

Re: Zijden van een driehoek met omtrekshoek bepalen

Re: Zijden van een driehoek met omtrekshoek bepalen

Re: Zijden van een driehoek met omtrekshoek bepalen

Re: Zijden van een driehoek met omtrekshoek bepalen

Re: Zijden van een driehoek met omtrekshoek bepalen