\(\frac{x^2}{y^2} - xy + (x +y)^2 = 0\)
De vraag is om
\(\frac{dy}{dx}\)
ofwel y' te bepalen.Ik vermenigvuldig beide kanten met y^2, schrijf (x+y)^2 uit en dan komt er uiteraard:
\(x^2 - xy^3 + x^2y^2 +2xy^3 + y^4= 0\)
Als ik dit impliciet differentieer, dan gaat het term voor term als volgt:
\(2x-y^3 - 3xy^2y' +2xy^2 + 2x^2yy' + 2y^3 + 6xy^2y' + 4y^3y' = 0\)
hetgeen ik als volgt kan herschrijven en hergroeperen:
\(2x+y^3+2xy^2+y'(3xy^2+2x^2y+4y^3) = 0\)
en dan rolt y' er zo uit:
\(y'=\frac{-y^3-2xy^2-2x}{4y^3+3xy^2+2x^2y}\)
Tot zover klopt het allemaal met het antwoord achterin mijn boek.
Maar ik heb ook geprobeerd de vorm waarmee ik begon:
\(\frac{x^2}{y^2} - xy + (x +y)^2 = 0\)
rechtsstreeks te differentiëren. Ik begin met de eerste term:
\(\frac{x^2}{y^2}\)
hetgeen leidt tot:
\(\frac{2xy^2-2x^2yy'}{y^4}=\frac{2xy-2x^2y'}{y^3}\)
Differentieer de tweede term -xy:
\(-y-xy'\)
en de derde (x+y)^2:
\(2x+2y+2xy'+2yy'\)
Nu alles achter elkaar incl. het rechterlid:
\(\frac{2xy-2x^2y'}{y^3}-y-xy'+2x+2y+2xy'+2yy'=0\)
Links en rechts vermenigvuldigen met y^3, hergroeperen en de boel wat opschonen:
\(2xy+y^4+2xy^3+y'(xy^3+2y^4-2x^2)=0\)
en dat lijkt niet erg op het eerste (juiste) antwoord. In de filosofie kun je de leer van de dubbele waarheid aanhangen maar hier geloof ik daar niet zo in. In mijn tweede uitwerking ga ik dus ergens de fout in, maar waar?
