IDFT H(w) -> F(t)

Celtic

Als een vooraf gedefinieerd spectrum H(w) van een signaal
via IDFT wordt omgezet naar een signaal F(t) sluiten de eerste en laatste
sample van F(t) dan op elkaar aan (zelfde waarde, zelfde richtingcoef.)?

Anton_v_U

't Is voor mij bijna 30 jaar geleden maar ik kan het onderstaande uit m'n geheugen opdiepen. Wellicht zijn er mensen die dit kunnen aanvullen.

Een DFT is geen spectrum H(ω) maar een lijnenspectrum H(k) dat kan worden geïnterpreteerd als de amplitude en fase van f(n) voor n = 0..N-1 waarbij de corresponderende tijdfunctie f(n) een periodieke functie is (of een tijdbegrensde en periodiek voortgezette functie) met periode N. Gebruik voor f(n) liever een kleine letter en voor de getransformeerde een hoofdletter; gebruik voor het argument van f(n) liever een integer dan een t want een t lijkt op een continue variabele.

De tijdfunctie is periodiek. f(n) is een gesampeld signaal. De omhullende (of liever gezegd het LPF-gefilterde signaal) is continu en differentieerbaar omdat de tijdfunctie een som van een eindig aantal harmonische (complexe) functies is. Het antwoord op je vraag lijkt me daarom (in zekere zin) ja.

Xenion

Je moet telkens goed beseffen waar je precies over bezig bent: er bestaat een discrete-tijd fourier transformatie (DTFT) die een continu spectrum berekent voor een discreet tijdssignaal en dan heb je de discrete fourier transformatie (DFT) die in essentie een bemonsterde versie is van dit spectrum.

De DFT is dus een bemonsterde versie van de DTFT. Bemonsteren (sampling) in het frequentie domein betekent herhaling in het tijdsdomein, dus ja je creëert inderdaad een periodisch signaal als je de IDFT gaat berekenen. De regel is dat als je N samples hebt in het tijdssignaal, je ook N samples moet nemen in de DFT om aliasing in de omgekeerde transformatie te vermijden.

Dit betekent echter allemaal niet dat je recontructie signaal zou beginnen en eindigen met dezelfde waarde! Je kan pefect het spectrum analyseren van signalen waarvoor dit niet het geval is en de inverse fourier transformatie nemen zal dit niet veranderen. Zoek hierover eens wat op over venstering (windowing) voor spectrale analyse.

Celtic

Discreet is dan inderdaad H(k) en f(n).Windowing
wel toegespast bij FIR LPF maar zal hier
nog wat zien op na te lezen voor IDFT.

Xenion

Celtic schreef: Discreet is dan inderdaad H(k) en f(n).Windowing
wel toegespast bij FIR LPF maar zal hier
nog wat zien op na te lezen voor IDFT.

Windowing is vooral belangrijk voor de DFT. Wanneer je de DFT van een N-sample signaal berekent onderstel je eigenlijk dat je 1 periode analyseert van een oneindig periodisch signaal met periode N. Als de begin en eind waarden in het N-samplig signaal niet dicht bij elkaar liggen krijg je sterke discontinuiteiten indien je het periodisch zou herhalen en die discontinuïteit wordt zichtbaar in het berekende spectrum.

Anton_v_U

Xenion schreef: Als de begin en eind waarden in het N-samplig signaal niet dicht bij elkaar liggen krijg je sterke discontinuiteiten indien je het periodisch zou herhalen en die discontinuïteit wordt zichtbaar in het berekende spectrum.

Discontinuiteit is een wat moeizaam begrip in relatie tot een gesampeld signaal f(n), dat in het tijddomein zou kunnen worden gerepresenteerd als f_s(t) = f(n) δ(t-nT_s) met δ (t) een Dirac Deltafunctie. Dat is sowieso een (heel erg) discontinu signaal.

Het bijbehorende tijdsignaal is dan af te leiden door laagdoorlaatfiltering; omdat de impulsrespons van zo'n filter een sinc functie is (zo'n filter is niet causaal by the way maar het is met enige tijdvertraging goed te benaderen), het resultaat na filtering is een tijdcontinu signaal f(t) die bestaat uit een trein van sincfuncties en die is wel continu en differentieerbaar.

Mocht het oorspronkelijke signaal f(t) hogere frequenties bevatten, dan verdwijnen die na DFT, IDFT en filtering, cf. het sampeling theorema. Bij de H(k) van het gesampelde signaal hoort dan een f_F(t) waarbij f_F(t) de gefilterde f(t) is. Aangezien een tijdbegrensd signaal nooit frequentie begrensd is kan ik mij herinneren, is de gefilterde IDFT altijd een benadering van f(t).

In short: als het uitgangspunt een H(k) is, dan is de IDFT een f(n) waarvan de continue versie na filtering f(t) een continu differentieerbaar periodiek signaal moet zijn.

Celtic

Inderdaad een discontinuiteit in f(t) betekent vervorming.
Ondanks filtering, bij loopen van f(t) zal dit als audio dan
vermoedelijk toch nog hoorbaar worden.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

IDFT H(w) -> F(t)

IDFT H(w) -> F(t)

Re: IDFT H(w) -> F(t)

Re: IDFT H(w) -> F(t)

Re: IDFT H(w) -> F(t)

Re: IDFT H(w) -> F(t)

Re: IDFT H(w) -> F(t)

Re: IDFT H(w) -> F(t)