complexe getallen - machtsverheffing zonder formule van Euler

niels11

Hallo

Ik zit vast met enkele oefeningen van complexe getallen.

Z⁴+ 16 = 0

Deze vergelijking heeft 4 complexe oplossingen. Na veel zoeken op het internet en proberen ben ik tot de oplossingen gekomen.
Ik vind het zeer omslachtig en denk dat er een eenvoudiger manier is.
In bijlage vind je mijn uitwerking

Volgens mij kan dan op de zelfde manier Z³= 1 opgelost worden.
In bijlage vind je mijn uitwerking.

Hopelijk kan iemand me helpen of heeft iemand een idee hoe ik kan starten.

Flisk

De formule van Euler is voor worteltrekken heel erg handig en bespaart je een hoop schrijfwerk, als je die niet wilt gebruiken kan je nog steeds de sinus/cosinus notatie gebruiken en zo verder werken.

Daarvoor moet je volgende twee zaken doen:

1) het complex getal in volgende vorm schrijven.

\(r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))\)

2) nde wortel van een complex getal in die vorm trekken.

mathfreak

Bedenk dat z⁴+16 = z⁴-16i² = (z²+4i)(z²-4i). Stel z = a+bi is een oplossing, dan is

\(\bar{z}=a-bi\)

ook een oplossing. Je zoekt nu de oplossingen van de vergelijking z²+4i = 0 en van z²-4i = 0 door z = a+bi te stellen. Bedenk dat z² = a²-b²+2abi. Daaruit leid je dus bij iedere vergelijking een verband af tussen a en b, wat de gezochte waarde voor z geeft.

Safe

niels11 schreef: In bijlage vind je mijn uitwerking

Is deze uitwerking van jou zelf? Zo ja, dat is prima!
Vind je dit te bewerkelijk?

Ik mis wel een kwadraat (vierde regel van onder): (2i^(...)/b)^2

niels11

Ik denk dat ik het gevonden heb!

Ik vond niet meteen hoe ik het complex getal goniometrisch moest opstellen.
Wat moet ik kiezen als argument en modus? Maar ik denk dat ik het gevonden.

In onderstaande links vind je de oplossing :

http://pdfShare.it/doc/8I2KR8MZM
https://pdfshare.it/doc/3I2KRAWD3/001

en hieronder de oplossing van Z³ = 1

http://pdfShare.it/doc/5I2KRBWKT

Is deze uitwerking van jou zelf? Zo ja, dat is prima!

Vind je dit te bewerkelijk?

Ik mis wel een kwadraat (vierde regel van onder): (2i^(...)/b)^2

Jawel! Na een uren zoeken

Ik vind de goniometrische vorm iets eenvoudiger, minder bewerkingen en dus minder kans op fouten.
Ik heb inderdaad een kwadraatje vergeten, bedankt!

Bedankt voor de reacties!

groetjes Niels

Safe

niels11 schreef: Ik vind de goniometrische vorm iets eenvoudiger, minder bewerkingen en dus minder kans op fouten.

Maar heb je van deze vorm de theorie al geleerd ...

Nog eenvoudiger wordt dit soort verg door gebruik te maken van modulus en argument, zegt je dat iets ...

De opl van z^3=1 is niet correct, ga bv z=1/3 na ...

niels11

Safe schreef:
Maar heb je van deze vorm de theorie al geleerd ...

Nog eenvoudiger wordt dit soort verg door gebruik te maken van modulus en argument, zegt je dat iets ...

Ja ik heb theorie gezien van complexe getallen in carthesische vorm a+bi en in goniometrische vorm.
Ik ken modulus en argument enkel als definitie van de afstand en de hoek van een complex getal.

Safe

niels11 schreef: Ik ken modulus en argument enkel als definitie van de afstand en de hoek van een complex getal.

Dat is het enige wat je nodig hebt ...

De formule van Euler is bewezen?

tempelier

niels11 schreef: Hallo

Ik zit vast met enkele oefeningen van complexe getallen.

Z⁴+ 16 = 0

Deze vergelijking heeft 4 complexe oplossingen. Na veel zoeken op het internet en proberen ben ik tot de oplossingen gekomen.
Ik vind het zeer omslachtig en denk dat er een eenvoudiger manier is.
In bijlage vind je mijn uitwerking

Volgens mij kan dan op de zelfde manier Z³= 1 opgelost worden.
In bijlage vind je mijn uitwerking.

Hopelijk kan iemand me helpen of heeft iemand een idee hoe ik kan starten.

Via de stelling van de Moivre is de standaard methode.
Het is immers een binomiaal vergelijking.

Voor deze vorm kan ik er via een trucje omheen gaan,
door de vorm Z^4 +16 reeel te ontbinden.
Maar het is wel zeer ongebruikelijk om het zo te doen.

Maar als je geinterseerd bent zal ik het doen.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

complexe getallen - machtsverheffing zonder formule van Euler

complexe getallen - machtsverheffing zonder formule van Euler

Re: complexe getallen - machtsverheffing zonder formule van Euler

Re: complexe getallen - machtsverheffing zonder formule van Euler

Re: complexe getallen - machtsverheffing zonder formule van Euler

Re: complexe getallen - machtsverheffing zonder formule van Euler

Re: complexe getallen - machtsverheffing zonder formule van Euler

Re: complexe getallen - machtsverheffing zonder formule van Euler

Re: complexe getallen - machtsverheffing zonder formule van Euler

Re: complexe getallen - machtsverheffing zonder formule van Euler