Van minimalisatieprobleem naar PDE + randvoorwaarden

xansid

In het boek 'Numerical Analysis for Scientific Computing' vind ik het volgende voorbeeld:

: WP_20141120_003.jpg (63.48 KiB) 345 keer bekeken

In dit hoofdstuk leggen ze uit hoe je een integraal die bijvoorbeeld veerenergie voorstelt, door het invullen van een klasse van functies kan minimaliseren.

Daardoor kom je op een partiële differentiaalvergelijking (PDE) uit die je uiteindelijk numeriek zou moeten kunnen oplossen.

Hier en op andere plekken in het boek komt men, op een domein integraal en één of meerdere randintegralen om de PDE + randvoorwaarden op te stellen.

Ze gaan er echter klakkeloos van uit dat zowel de randintegraal als de domeinintegraal gelijk zijn aan 0. Terwijl er toch duidelijk staat dat de som van die integralen gelijk aan 0 moet zijn. Weet iemand waarom dit klopt?

dirkwb

xansid schreef:
Ze gaan er echter klakkeloos van uit dat zowel de randintegraal als de domeinintegraal gelijk zijn aan 0. Terwijl er toch duidelijk staat dat de som van die integralen gelijk aan 0 moet zijn. Weet iemand waarom dit klopt?

Hoezo? Ze bekijken alleen de 2D-case die in de opgave eronder wordt bewezen.

xansid

Bedankt voor je reactie. In de opgave eronder bewijs je het lemma van Dubois-Reymond in 2D.
Ik snap dat als

\(\eta\)

elke willekeurige functie mag zijn dat dan

\(\int_{\Omega} \eta(x,y)*f(x,y) d\Omega = 0\)

betekend dat

\(f(x,y)\)

overal 0 moet zijn.
Wat ik niet snap is dat wanneer er in de vergelijking meerdere integralen staan zoals

\(\int_{\Omega} \eta(x,y)*f(x,y) d\Omega + \int_{\Gamma} \eta(x,y)*g(x,y) d\Gamma = 0\)

Dat dan zowel f(x,y) als g(x,y) overal nul moeten zijn. De randintegraal kan dan toch ook gelijk zijn aan min de domeinintegraal? Dan zijn ze alsnog samen 0.

xansid

Volgens mij snap ik het nu... in sommige gevallen moet de vergelijking namelijk ook aan een 'compatibility condition' voldoen. Helemaal uitleggen kan ik het niet, maar met die extra conditie zorg je ervoor dat er evenveel 'oplossing' via de randen binnenkomt als dat er in het domein verdwijnt. En volgens mij zit daarin al de mogelijkheid dat de integralen samen gelijk zijn aan 0... ofzo.

Weet iemand een boek, tekst of website waarin wordt uitgelegd hoe je een PDE in integraalvorm zet en vice versa. Ik ben helemaal niet blij met de uitleg in het boek dat ik nu heb...

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Van minimalisatieprobleem naar PDE + randvoorwaarden

Van minimalisatieprobleem naar PDE + randvoorwaarden

Re: Van minimalisatieprobleem naar PDE + randvoorwaarden

Re: Van minimalisatieprobleem naar PDE + randvoorwaarden

Re: Van minimalisatieprobleem naar PDE + randvoorwaarden