Ik kan mijn eigen post niet meer editten (?) Dus probeer ik het even zo...
Ik ga er van uit dat alle variabelen een scalar zijn. Definieer een vector
\({\overrightarrow{\lambda}} \equiv (\lambda_1, \lambda_2)\)
. Gebruik ook de volgende definitie:
\(
\frac{\partial }{\partial x} \equiv \partial_x
\)
Neem vervolgens het scalair product van
\({\overrightarrow \lambda}\)
en de gradient van het product uw (oftewel:
\( {\overrightarrow{\lambda}} \cdot {\mathrm{grad\;} uw \)
). Dat resulteert in de volgende scalar:
\(
\lambda_1 \partial_x uw + \lambda_2 \partial_y uw
\)
Neem van die scalar vervolgens de gradient. Dit resulteert in:
\(
(\lambda_1 \frac{\partial^{2}}{\partial x^2}uw , \lambda_2 \frac{\partial^{2}}{\partial y^2}uw) \;\;\;\;[1]
\)
De vraag is hoe je dat kunt omschrijven in:
\(
\lambda_1 \frac{\partial^{2}}{\partial x^2}uw + \lambda_2 \frac{\partial^{2}}{\partial y^2}uw \;\;\;[2]
\)
Wat volgens mij overeenkomt met de vergelijking die jij postte. Merk op dat
\( \mathrm{div\; grad} \equiv \nabla^{2} \equiv \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + ... = \)
de Laplaciaan. Want in [1] heb ik bijv.
\(\lambda_1\)
buiten de differentiaal gehaald terwijl jij zegt dat deze van x en y afhangt. Dat mag niet. Verder zou je het scalair product van [1] kunnen nemen met de vector (1, 1) om uit te komen op [2]. Iets in de trend van:
\(
(1, 1) \cdot {\mathrm {grad}\;} \overrightarrow{\lambda} \cdot {\mathrm {grad}\;} uw
\)
