algebraisch oplossingen van derdegraads complex getal

niels11

Halo

Ik heb volgend complex getal z³-1=0 het complex getal is tot de 3e graad, dus heeft 3 verschillende oplossingen.
Ik heb reeds deze 3 oplossingen gevonden door het complex getal om te zetten in de goniometrische vorm.
Ik wil de oplossing in de algebraische vorm, ik weet dat dit eenvoudig op te lossen is door ze om te zetten van de goniometrische vorm.
Maar kan dit ook via algebraische vorm afgeleid worden? Want volgens mij kan dit getal niet verder ontbonden worden in factoren.
Voorbeeld z^4+16=0, je kan dit ontbinden in factoren tot (z²-4i)*(z²+'i)=0. Daarna kan je z makkelijk bereken door a en b in te vullen.
Ik heb dit ook geprobeerd met z³-1=0 , maar dan kom ik voor a=1 uit.

In bijlage vind je de oplossing op goniometrische wijze

EvilBro

Uit 'a=1' weet je dat (z-1) een factor is, dus:

\(\frac{z^3 - 1}{z-1} = \cdots\)

niels11

EvilBro schreef: Uit 'a=1' weet je dat (z-1) een factor is, dus:

\(\frac{z^3 - 1}{z-1} = \cdots\)

Dus Z-1 is een nulpunt?

Bij de oplossingen die ik gevonden heb met de goniometrische wijze kom 2 oplossingen uit met een complex deel.
En een oplossing met enkel een reëel deel. De oplossing met het reëel deel is 1/3 en dus niet 1.

Of ben ik fout in mijn goniometrische werkwijze. Je kan die bekijken in bijlage.

Safe

niels11 schreef: Ik heb volgend complex getal z³-1=0 het complex getal is tot de 3e graad, dus heeft 3 verschillende oplossingen.
Ik heb reeds deze 3 oplossingen gevonden door het complex getal om te zetten in de goniometrische vorm.

Ken je de begrippen modulus en argument bij een complex getal?
z³=1, wat is |z³|=... , en dus |z|=... , wat zegt dat voor alle opl ...
Je noemt de opl w_k en je vermenigvuldigt met 1/3 , waarom?
Je vindt z=1/3, maar (1/3)³= ..., en ik hoop dat je direct z=1 als opl ziet ...

tempelier

Halo

Ik heb volgend complex getal z³-1=0 het complex getal is tot de 3e graad, dus heeft 3 verschillende oplossingen.
Ik heb reeds deze 3 oplossingen gevonden door het complex getal om te zetten in de goniometrische vorm.
Ik wil de oplossing in de algebraische vorm, ik weet dat dit eenvoudig op te lossen is door ze om te zetten van de goniometrische vorm.
Maar kan dit ook via algebraische vorm afgeleid worden? Want volgens mij kan dit getal niet verder ontbonden worden in factoren.
Voorbeeld z^4+16=0, je kan dit ontbinden in factoren tot (z²-4i)*(z²+'i)=0. Daarna kan je z makkelijk bereken door a en b in te vullen.
Ik heb dit ook geprobeerd met z³-1=0 , maar dan kom ik voor a=1 uit.

In bijlage vind je de oplossing op goniometrische wijze

Waar het spaak loopt is dat je niet alle merkwaardige producten kent.

Zoek eens naar merkwaardige producten dan vind je ook hoe je z³-1 moet ontbinden.

Een alternatief is om het gewoon te tekenen,
want alle drie de oplossingen liggen op de eenheidscirkel.

mathfreak

Stel z³-1= (z-1)(z²+az+1) en bepaal daaruit a en de 2 andere gezochte oplossingen.

tempelier

mathfreak schreef: Stel z³-1= (z-1)(z²+az+1) en bepaal daaruit a en de 2 andere gezochte oplossingen.

Maar dat is het merkwaardig produkt waar ik op doelde.
Je bent aan het voorzeggen.

niels11

Safe schreef:
Ken je de begrippen modulus en argument bij een complex getal?
z³=1, wat is |z³|=... , en dus |z|=... , wat zegt dat voor alle opl ...
Je noemt de opl w_k en je vermenigvuldigt met 1/3 , waarom?
Je vindt z=1/3, maar (1/3)³= ..., en ik hoop dat je direct z=1 als opl ziet ...

Ja deze begrippen ken ik. modulus is de absolute waarde van het complex getal en is de afstand van het complex getal tot de oorsprong in het vlak van Gauss en het argument is de hoek die het complex getal maakt met de reële as. Wk is een letter die ik geleerd heb om de algemene vergelijking op te stellen waarna ik telkens k invul.

Ok ik zie mijn fout die 1/3 is fout het moet de 3e machtswortel zijn van 1 en is dus 1 en dan kom ik inderdaad 1 uit als oplossing.
Ik vond het wel logisch om 1 als oplossing te hebben, maar ik staarde me blink om mijn goniometrische uitwerking, ik dacht dat die absoluut juist was.
Ik heb mijn goniometrische wijze hermaakt en een algebraische wijze opgesteld ik heb het op nog een andere manier geprobeerd, dan met het merkwaardig product, maar ik kom verkeerd uit. Kan iemand me zeggen wat verkeerd is, ik maak waarschijnlijk een redeneringsfout.

Safe

niels11 schreef: Ik heb mijn goniometrische wijze hermaakt en een algebraische wijze opgesteld ik heb het op nog een andere manier geprobeerd, dan met het merkwaardig product, maar ik kom verkeerd uit. Kan iemand me zeggen wat verkeerd is, ik maak waarschijnlijk een redeneringsfout.

Je maakte nog een fout 4/3*pi ligt in het derde kwadrant, ga dat na ...

Waar staat je nieuwe uitwerking?

De verg zⁿ=a+bi, kan je het beste met modulus-argument oplossen, dat is standaard ...

niels11

Safe schreef:
Je maakte nog een fout 4/3*pi ligt in het derde kwadrant, ga dat na ...

Waar staat je nieuwe uitwerking?

De verg zⁿ=a+bi, kan je het beste met modulus-argument oplossen, dat is standaard ...

Sorry document vergeten up te loaden

Safe

Dat gaat niet goed ... , de derde term bevat i² en niet i³

Maar waarom zo, zie m'n vorige post ...

Als je persé wilt ontbinden: x³-1=(x-1)(...), wat moet er dan zeker staan... , ga daarna na welke term ontbreekt ...
Anderen willen je dat wel aangeven maar probeer het eerst zelf.

niels11

Ik heb het opgelost door te ontbinden. Dit zorgt inderdaad voor een eenvoudige oplossing.

In bestand vind je de oplossing.
Bedankt iedereen!

Ik heb nu de opgave wat verandert in z³=-8 en opnieuw op deze manier de oplossingen proberen te vinden,
maar ik kom opnieuw verkeerd uit. Deze methode kan je toch op iedere complex getal gebruiken.
In bijgevoegd bestand vind je mijn uitwerking.

tempelier

Je maakt het je wel moeilijk voor niets.

\(z^2-2z+4=(z^2-2z+1)+3=(z-1)^2+3=\cdots\cdots\)

niels11

Je maakt het je wel moeilijk voor niets.

\(z^2-2z+4=(z^2-2z+1)+3=(z-1)^2+3=\cdots\cdots\)

Ok ik snap het

\( (z-1)^2=3i^2\)

\(z-1=\sqrt{3}i \)

OF

\( -\sqrt{3}i \)

\(z_1=1+\sqrt{3}i\)

\(z_2=1-\sqrt{3}i \)

Amai latex is verassend eenvoudig

Bedankt!

tempelier

niels11 schreef:
Ok ik snap het

\((z-1)^2+3=0\)

\((z-1)^2=3i^2\)

\(z-1=\sqrt{3i}\)

Het is niet geheel correct, kijk goed naar de verschillen.

\((z-1)^2+3=0\)

\((z-1)^2=3i^2\)

\(z-1=\pm i\sqrt{3}\)

.

\(z=1\pm i\sqrt{3}\)

PS.
De tex versie hier werkt een beetje anders als de standaard, regels afbreken kun je beter niet doen.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

algebraisch oplossingen van derdegraads complex getal

algebraisch oplossingen van derdegraads complex getal

Re: algebraisch oplossingen van derdegraads complex getal

Re: algebraisch oplossingen van derdegraads complex getal

Re: algebraisch oplossingen van derdegraads complex getal

Re: algebraisch oplossingen van derdegraads complex getal

Re: algebraisch oplossingen van derdegraads complex getal

Re: algebraisch oplossingen van derdegraads complex getal

Re: algebraisch oplossingen van derdegraads complex getal

Re: algebraisch oplossingen van derdegraads complex getal

Re: algebraisch oplossingen van derdegraads complex getal

Re: algebraisch oplossingen van derdegraads complex getal

Re: algebraisch oplossingen van derdegraads complex getal

Re: algebraisch oplossingen van derdegraads complex getal

Re: algebraisch oplossingen van derdegraads complex getal

Re: algebraisch oplossingen van derdegraads complex getal