Dimensie van een ruimte en basis

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 138

Dimensie van een ruimte en basis

Dag allemaal,
 
Ik ben student ingenieur en ben bezig met het studeren van de Lineaire Algebra. Nu stoot ik op enkele zaken die ik nog niet helemaal begrijp.
 
Volgende vragen komen in mij op:
 
- Waar slaat de dimensie op?
 
Waar slaat de dimensie nu net op? Dit slaat op het aantal elementen in de basis van een ruimte. Om het te illustreren met een voorbeeld. De ruimte van 2x2 matrices heeft een dimensie van 4. Moet een basis dan, 4 (2x2 matrices) hebben of slaat de 4 hier op het aantal elementen in de matrix? Want een 2x2 matrix kan ook geschreven worden als (a,b,c,d) als ik mij niet vergis, dit zijn ook 4 elementen? Hopelijk kan iemand het voor mij verduidelijken aan de hand van mijn voorbeeld.
 
- Moet de dimensie van een deelruimte gelijk zijn aan de dimensie van de ruimte?
 
<i>Om verder te gaan op mijn eerder voorbeeld. De dimensie van 2x2 matrices is 4. Nu kwam ik een deelruimte tegen met 2 (2x2) matrices, dus met elk 4 elementen. Is de dimensie van deze deelruimte dan gelijk aan die van de ruimte namelijk 4 of is de dimensie hier 2?</i>
 
- Hoe kan je een basis voor een ruimte bepalen?
 
Neem nu bijvoorbeeld, stel een basis op voor de deelruimte van 2x2 symmetrische matrices. Hoeveel (2x2) matrices zal deze basis bevatten? Ze moeten al zeker lineair onafhankelijk zijn en vooruitbrengend zijn voor deze deelruimte. Maar wat met hun dimensie? En hoe vind je uiteindelijk de basis?
 
- Een matrix, een veelterm en een vector ...?
 
Daarnaast het correcte verband tussen een matrix, en veelterm en een vector. Naar mijn intuïtie zou een vector gelijk zijn aan een matrix. Namlijk een 2x2 matrix kan ook geschreven worden als (a,b,c,d). Een veelterm is ook een vector of een matrix? Iemand die me kan helpen om hier nog meer inzicht in te verkrijgen?
 
Alvast heel erg bedankt. Deze vragen zouden me heel erg helpen om meer inzicht te krijgen in de leerstof!

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Dimensie van een ruimte en basis

Xasuntox schreef: Dag allemaal,
 
Ik ben student ingenieur en ben bezig met het studeren van de Lineaire Algebra. Nu stoot ik op enkele zaken die ik nog niet helemaal begrijp.
 
Volgende vragen komen in mij op:
 
- Waar slaat de dimensie op?
 
Waar slaat de dimensie nu net op? Dit slaat op het aantal elementen in de basis van een ruimte. Om het te illustreren met een voorbeeld. De ruimte van 2x2 matrices heeft een dimensie van 4. Moet een basis dan, 4 (2x2 matrices) hebben of slaat de 4 hier op het aantal elementen in de matrix? Want een 2x2 matrix kan ook geschreven worden als (a,b,c,d) als ik mij niet vergis, dit zijn ook 4 elementen? Hopelijk kan iemand het voor mij verduidelijken aan de hand van mijn voorbeeld.
 
Die 4 slaat op het feit dat je 4 matrices moet hebben in je basis. Kan je zo een makkelijke basis geven? De dimensie kan je zien als het aantal "vrije parameters" in je ruimte. Zo is een algemene matrix van de vorm
\(\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\)
Dat zijn dus 4 "vrije parameters". Dit kan je trouwens ook helpen bij het vinden van een basis ;).
 
 
- Moet de dimensie van een deelruimte gelijk zijn aan de dimensie van de ruimte?
 
<i>Om verder te gaan op mijn eerder voorbeeld. De dimensie van 2x2 matrices is 4. Nu kwam ik een deelruimte tegen met 2 (2x2) matrices, dus met elk 4 elementen. Is de dimensie van deze deelruimte dan gelijk aan die van de ruimte namelijk 4 of is de dimensie hier 2?</i>
 
Dat is niet zo triviaal te zeggen en hangt af van die matrices. Kan je wat meer info geven? Ze hoeft zeker niet dimensie 4 te zijn (en zal dat typisch niet zijn).
 
 
- Hoe kan je een basis voor een ruimte bepalen?
 
Neem nu bijvoorbeeld, stel een basis op voor de deelruimte van 2x2 symmetrische matrices. Hoeveel (2x2) matrices zal deze basis bevatten? Ze moeten al zeker lineair onafhankelijk zijn en vooruitbrengend zijn voor deze deelruimte. Maar wat met hun dimensie? En hoe vind je uiteindelijk de basis?
 
Met hetzelfde trucje als ervoor met de a,b,c,d. Hoe ziet een typische symmetrische matrix 2x2 er uit? De dimensie ken je als je weet uit hoeveel elementen je basis bestaat.
 
Op je laatste vraag kom ik later terug (die is wat "dieper"). 
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 138

Re: Dimensie van een ruimte en basis

Drieske schreef:  
Die 4 slaat op het feit dat je 4 matrices moet hebben in je basis. Kan je zo een makkelijke basis geven? De dimensie kan je zien als het aantal "vrije parameters" in je ruimte. Zo is een algemene matrix van de vorm
\(\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\)
Dat zijn dus 4 "vrije parameters". Dit kan je trouwens ook helpen bij het vinden van een basis ;).
 
 
Dat is niet zo triviaal te zeggen en hangt af van die matrices. Kan je wat meer info geven? Ze hoeft zeker niet dimensie 4 te zijn (en zal dat typisch niet zijn).
 
 
Met hetzelfde trucje als ervoor met de a,b,c,d. Hoe ziet een typische symmetrische matrix 2x2 er uit? De dimensie ken je als je weet uit hoeveel elementen je basis bestaat.
 
Op je laatste vraag kom ik later terug (die is wat "dieper"). 
 
Hoe je de basis moet vormen begrijp ik nu. Dit is gewoon een kwestie van al je parameters in functie van matrices te schrijven. (je snapt wel wat ik bedoel).
 
Voorbeelden voor die deelruimte:
 
Beschouw de Euclidische ruimte van R(2x2). Kies een basis voor de deelruimte van de 2x2 symmetrische  matrices. Als ik dit doe voor de symmetrische matrices, bekom ik 3 matrices. Ik mag dus zeggen dat mijn deelruimte een dimensie heeft van 3, dit terwijl de ruimte waarin we werken een dimensie van 4 heeft. 
 
Nog een ander voorbeeld:
 
Beschouw de Euclidische ruimte R(4). Zij W de deelruimte voortgebracht door (1,2,0,1) en (2,-1,1,0). De deelruimte heeft in dit geval dus 2 vectoren en dus een dimensie van 2. Terwijl de basis van de euclidische ruimte een dimensie heeft van 4, de basis is namelijk. (1,0,0,0), (0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1) .(ervan uitgaande dat de dimensie altijd terug slaagt op het aantal vectoren). Waarom kan dit? Waarom kan de dimensie verschillen? En waarom is dit niet eenduidig te zeggen? Waarom hangt dit af van de matrix?
 
Toch lijkt het mij dat er een verband is tussen het aantal elementen in mijn basisvectoren en de dimensie?
 
Alvast heel erg bedankt voor de moeite.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Dimensie van een ruimte en basis

Xasuntox schreef:  
Hoe je de basis moet vormen begrijp ik nu. Dit is gewoon een kwestie van al je parameters in functie van matrices te schrijven. (je snapt wel wat ik bedoel).
 
Voorbeelden voor die deelruimte:
 
Beschouw de Euclidische ruimte van R(2x2). Kies een basis voor de deelruimte van de 2x2 symmetrische  matrices. Als ik dit doe voor de symmetrische matrices, bekom ik 3 matrices. Ik mag dus zeggen dat mijn deelruimte een dimensie heeft van 3, dit terwijl de ruimte waarin we werken een dimensie van 4 heeft. 
 
Nog een ander voorbeeld:
 
Beschouw de Euclidische ruimte R(4). Zij W de deelruimte voortgebracht door (1,2,0,1) en (2,-1,1,0). De deelruimte heeft in dit geval dus 2 vectoren en dus een dimensie van 2. Terwijl de basis van de euclidische ruimte een dimensie heeft van 4, de basis is namelijk. (1,0,0,0), (0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1) .(ervan uitgaande dat de dimensie altijd terug slaagt op het aantal vectoren). Waarom kan dit? Waarom kan de dimensie verschillen? En waarom is dit niet eenduidig te zeggen? Waarom hangt dit af van de matrix?
 
Toch lijkt het mij dat er een verband is tussen het aantal elementen in mijn basisvectoren en de dimensie?
 
Het aantal basisvectoren is altijd je dimensie. Maar ze kunnen je meer vectoren geven dan nodig bijv. Zo zou ik bijvoorbeeld kunnen zeggen: wat is de dimensie van de deelruimte (van R³ bijv.) voortgebracht door de vectoren (1, 0, 0), (0, 1, 0) en (1, 1, 0)? Kan jij het zeggen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 138

Re: Dimensie van een ruimte en basis

Drieske schreef:  
Het aantal basisvectoren is altijd je dimensie. Maar ze kunnen je meer vectoren geven dan nodig bijv. Zo zou ik bijvoorbeeld kunnen zeggen: wat is de dimensie van de deelruimte (van R³ bijv.) voortgebracht door de vectoren (1, 0, 0), (0, 1, 0) en (1, 1, 0)? Kan jij het zeggen?
 
Ik weet het niet. Kan dat wel een basis zijn? Er zijn er toch 2 lineair afhankelijk?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Dimensie van een ruimte en basis

Dat is geen basis, maar er zijn er inderdaad wel 2 lineair onafhankelijk. Dus bijv. (1, 0, 0) en (0, 1, 0) vormen een basis voor die ruimte. De dimensie is...?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 138

Re: Dimensie van een ruimte en basis

Drieske schreef: Dat is geen basis, maar er zijn er inderdaad wel 2 lineair onafhankelijk. Dus bijv. (1, 0, 0) en (0, 1, 0) vormen een basis voor die ruimte. De dimensie is...?
 
De dimensie is 2. Maar over welke deelruimte heb je het nu? Want "een deelruimte" kan van alles zijn, nu dat je hem een basis gegeven hebt is hij natuurlijk wel gedefineerd.
 
Maar wat ik me nog afvraag. Volgens de theorie is de dimensie van de ruimte R van 3X3 matrices gelijk aan 9. Maar pak nu een willekeurige 3X3 matrix, deze heeft toch maar een dimensie van 3? Want deze heeft 3 parameters. Of zie ik weer iets over het hoofd? Welke fout zit er in mijn redenering? En wat zijn de verbanden tussen vectoren, matrices (groter als nx1) en veeltermen?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Dimensie van een ruimte en basis

Een vectorruimte heeft wel een bepaalde dimensie (namelijk het aantal basisvectoren), maar de vectoren zelf hebben geen dimensie. Het is wel zo dat een m´n matrix uit m∙n elementen bestaat en dat de ruimten ℝm∙nen ℂm∙n vectorruimten met dimensie m∙n vormen. De mattrices zelf hebben echter geen dimensie. Een n-dimensionale rijvector is een 1´n matrix en een n-dimensionale kolomvector is een n´1 matrix. De verzamelimg polynomen van de gedaante a0+a1x+a2x2+...+an-1xn-1 duiden we aan met ℝ[x] of ℂ[x] en is op te vatten als een n-dimensionale vectorruimte met {1,x,x2,...xn-1} als basis.
 
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Reageer