Springen naar inhoud

wortel(pi) transcendent


  • Log in om te kunnen reageren

#1

zijtjeszotjes

    zijtjeszotjes


  • >100 berichten
  • 171 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 januari 2006 - 19:17

hee!
is wortel(pi) ook transcendent (net als pi)? zo ja..ik zoek een site ofzo waarop het bewijs ervan staat!
veel sterkte..

alvast bedankt

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Ernie

    Ernie


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 januari 2006 - 19:27

Mag je aannemen dat pi transcendent is om eventueel te bewijzen dat de vierkantswortel van pi dat ook is?

#3

zijtjeszotjes

    zijtjeszotjes


  • >100 berichten
  • 171 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 januari 2006 - 20:13

Mag je aannemen dat pi transcendent is om eventueel te bewijzen dat de vierkantswortel van pi dat ook is?

in 1882 werd er toch bewezen dat pi is transcendent..of was het alleen irrationeel(aal)?

#4

Ernie

    Ernie


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 januari 2006 - 20:27

Dan is het toch helemaal niet moeilijk? Q[wortel pi] is een veld dat Q[pi] omvat, en [Q(pi) : Q] = +oneindig...

#5

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 januari 2006 - 21:14

hee!
is wortel(pi) ook transcendent (net als pi)? zo ja..ik zoek een site ofzo waarop het bewijs ervan staat!
veel sterkte..

alvast bedankt

Dat is eenvoudig immers: als √π algebraïsch zou zijn dan volgt daaruit dat π dat ook is; √π moet dus wel trancendent zijn.

#6

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 januari 2006 - 22:50

Kleine toelichting:

Dat is eenvoudig immers: als √π algebraïsch zou zijn dan volgt daaruit dat π dat ook is;

Want als [wortel]p een nulpunt is van de veelterm [sum_k]an[.]Xn, dan is p een nulpunt van [sum_k]an[.]X2n.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#7

Ernie

    Ernie


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 januari 2006 - 22:54

Zijn jullie daar wel zeker van, Rogier en Bert??

#8

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 januari 2006 - 00:06

Zijn jullie daar wel zeker van, Rogier en Bert??

Ehm, ja, maar bij nader inzien is het bewijs nét iets genuanceerder dan ik eerst gaf :roll:

Stel dat [wortel]p algebraïsch is, dus nulpunt van de veelterm [sum_k]an[.]Xn. Deze veelterm is ook te schrijven in de vorm [sum_k](a2n[.]X2n + a2n+1[.]X2n+1).
Als je nu [wortel]p hierin invult komt er uit: [sum_k](a2n[.]pn + [wortel]p[.]a2n+1[.]pn) = ([sum_k]a2n[.]pn) + [wortel]p([sum_k](a2n+1[.]pn)
Omdat dit nul is geldt ([sum_k]a2n[.]pn) = -[wortel]p([sum_k](a2n+1[.]pn)
Als je aan beide kanten kwadrateert krijg je ([sum_k]a2n[.]pn)2 = p([sum_k]a2n+1[.]pn)2
De kwadraten van die twee veeltermen over p zijn ook weer veeltermen over p, dus er staat: f(p)=p[.]g(p)
p[.]g(p) is eveneens een veelterm over p (namelijk dezelfde als g(p) maar dan alle expontenten één hoger), dus f(p)=h(p)
Maar dan geldt f(p)-h(p) = 0, dus is p algebraïsch.

Merk op dat f(p) = h(p) is uitgesloten, omdat f en g beide het kwadraat van een veelterm waren, en dus van even graad zijn, terwijl h(p) = p[.]g(p), wat een veelterm van oneven graad is.

oei wat was het prettig geweest als ik nu die Latex al een keer af had :-)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#9

Ernie

    Ernie


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2006 - 01:31

Dat bedoelde ik inderdaad, wortel pi was helemaal geen wortel.

Ik vind het korte argument over uitbreidingsgraden enzo leuker 8) :wink:

#10

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 januari 2006 - 01:50

Ik vind het korte argument over uitbreidingsgraden enzo leuker 8)  :wink:

Oh ja, ehm.. :roll: even gemist denk ik, maar inderdaad, is een stuk eleganter :D
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#11

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2006 - 09:48

Dat bedoelde ik inderdaad, wortel pi was helemaal geen wortel.

Ik vind het korte argument over uitbreidingsgraden enzo leuker 8)  :wink:

Dat is het ook maar ik weet niet of de vragensteller voldoende kennis van algebra heeft om dat te kunnen volgen.

Een ander argument wordt gegeven door de stelling dat een product en som van algebraische getallen altijd algebraisch is, maar ook door de stelling dat een een getal dat nulpunt is van een polynoom met algebraische coefficienten zelf een algebraisch getal is.

Een direct bewis kan ook nog als volgt: stel dat a het nulpunt is van een polynoom P(x). Het polynoom Q(x)=P(x)P(-x) heeft dan alleen maar even machten van x zodat je x2 kunt vervangen door y en het aldus verkregen polynoom Q'(y)heeft a2 als nulpunt.

#12

zijtjeszotjes

    zijtjeszotjes


  • >100 berichten
  • 171 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2006 - 20:45

het gaat indirect om die cirkelkwadratuur..

volgens wiskundigen is er geen oplossing mogelijk omdat pi transcendent is.

Pi kun je wel tekenen als 'omtrek' teken bijv. een cirkel met straat r=1/2 dan is omtrek=1pi.

om een vierkant met de opp. van een cirkel te tekenen moet de zijde een getal a.pi zijn. bijv als zijde=pi/2 dan is opp. pi²/4 en bij deze oppervlakte kun je een cirkel tekenen met straal:

r²pi=pi/2 dan r=wortel2.

ik vraag me af.. waar het mis gaat bij pogingen tot oplossen van dit vraagstuk?

#13

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 21 februari 2006 - 19:53

Definitie:  
Een getal  noemen we transcendent asa er geen enkel veelterm met gehele coëfficienten bestaat met nulpunt .  
Gegeven:  
 :roll: is transcendent  
Te bewijzen:  
:P  :P  is transcendent.

Als a een nulpunt is van f(x) = xk + ... + ak,
dan is :P a een nulpunt van f(x2).
De rest spreekt voor zich

#14

Nabuko Donosor

    Nabuko Donosor


  • >25 berichten
  • 94 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 februari 2006 - 21:36

Om hier even op terug te komen. Het probleem luidt dus als volgt : construeer, uitgaande van een lijnstuk van lengte 1, een vierkant met dezelfde oppervlakt als een cirkel met straal 1. Anders gezegd, construeer een lijnstuk van lengte LaTeX . Het is bewezen dat je, uitgaande van een lijnstuk met lengte 1, enkel lijnstukken kunt construeren van algebraische lengte. DaarLaTeX transcendent is, is het probleem dus onoplosbaar.

#15

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 februari 2006 - 21:21

Zij a een complex getal, en f en g veeltermen met rationale coefficienten, en f en g zijn beide niet constant

dan is f(a) transcendent asa g(a) transcendent is





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures