Springen naar inhoud

[wiskunde] begrensde rij


  • Log in om te kunnen reageren

#1

zijtjeszotjes

    zijtjeszotjes


  • >100 berichten
  • 171 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2006 - 20:56

hee
hier een rij
gedefineerd voor n>=1.

sn= 1/(1*3)+/(2*5)+1/(3*7)+...1/(n(2n+1)

1) toon aan
0.5sn= 1-(1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n+1))

en dan nog 2 vraagjes..
maar ik zit vast bij deze!
ik krijg dat 1 gewoon niet weg..

dien ik te bewijzen met inductie?
kan dat niet anderS?
bedankt

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 15 januari 2006 - 21:48

Hint:
Schrijf alle breuken als een verschil van eenvoudiger breuken
1/k(2k+1) = 1/k - 2/(2k+1) voor k=1...n

#3

zijtjeszotjes

    zijtjeszotjes


  • >100 berichten
  • 171 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2006 - 21:50

Hint:
Schrijf alle breuken als een verschil van eenvoudiger breuken
1/k(2k+1) = 1/k - 2/(2k+1) voor k=1...n

had ik gedaan..:S
dan volgT?!

#4

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 15 januari 2006 - 22:16

Dan volgt dat de formule niet klopt.
Probeer maar n=2 (of elke andere waarde voor n>1).

#5

zijtjeszotjes

    zijtjeszotjes


  • >100 berichten
  • 171 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2006 - 22:41

Dan volgt dat de formule niet klopt.
Probeer maar n=2 (of elke andere waarde voor n>1).

oh zo...
dus die gelijkheid van 0.5sn=1-(...) klopt niet..
dank je. ik begon weer aan mezelf te twijfelen
je hebt me gered...
thank u

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 16 januari 2006 - 17:13

Ik denk dat dit wel klopt!

S1=1/3,
en volgens de formule: 1/2S1=1-(1/2+1/3)=1/6 => S1=1/3!

S2=1/3+1/10=13/30
en volgens de formule: 1/2S2=1-(1/3+1/4+1/5)=1-47/60=13/60 => S2=13/30!

#7

dr. E. Noether

    dr. E. Noether


  • >25 berichten
  • 96 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 januari 2006 - 19:40

Ik ben het met Safe eens: de opgave klopt. Dit staat trouwens bekend als een telescopische reeks. Je kunt met inductie naar n laten zien dat de gelijkheid klopt. Controleer voor n=1. Je moet dan nog laten zien dat het voor n+1 ook klopt. Neem als inductieveronderstelling dat

0.5s_{n}= 1 - (1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n+1)) ... (I.V.)

Dan moet je dus laten zien dat

0.5s_{n+1} = 1 - (1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/(2n+1) + 1/(2n+2) + 1/(2n+3)).

Welnu, 0.5s_{n+1} = 0.5[som] {k=1 tot n+1} (1/(k(2k+1)) = (*) = 0.5[som] {k=1 tot n+1} (1/k - 2/(2k+1))
= 0.5[som] {k=1 tot n} (1/k - 2/(2k+1)) + 1/(2n+2) - 1/(2n+3)

Het eerste deel kun je vervangen volgens de I.V. (immers de som loopt nu tot n). Je verkrijgt met I.V. een term 1/(n+1) die je NIET wilt hebben, maar kijk ook eens wat verderop staat! 1/(2n+2) - 1/(n+1) = -1/(2n+2). Een beetje herschrijven en datgene wat je wilde laten zien staat er. Succes ermee!

*) Met de hint van PeterPan.

#8

zijtjeszotjes

    zijtjeszotjes


  • >100 berichten
  • 171 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 januari 2006 - 22:05

oh zo bedankt!
maar als je geen inductie gebruikt.. hoe kan je zo'n formule laten ontstaan...
die '1'.. vind ik heel raar in de formule..
het lijkt alsof het de som is van een eindig breuken ..

#9

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 16 januari 2006 - 23:45

Zonder inductie:

sn =
1/(1*3)+/(2*5)+1/(3*7)+...1/(n(2n+1) =
(1/1-2/3) + (1/2-2/5) + ... + (1/n-2/(2n+1)) =
(1/1+1/2+...+1/n) - (2/3+2/5+...+2/(2n+1)) =
(1/1+1/2+...+1/n) - (2/2+2/3+2/4+...+2/(2n+1)) + (2/2+2/4+...+2/(2n)) =
2(1/1+1/2+...+1/n) - 2(1/2+1/3+1/4+...+1/(2n+1)) =
2 - 2(1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n+1)).
Dus sn/2 = 1-(1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n+1)).





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures