Is 0,999.. gelijk aan 1, en mag je dat zo bewijzen?
De drie puntjes (ellipsis) staan voor een oneindige herhaling.
Stel x = 0,999...
10 x = 9,999...
x = 0,999... -
---------------
9 x = 9,000...
>> x = 1,000...
Laatste berichten
-
21:26
Straatklok loopt 5 minuten voor 10
-
20:50
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 9
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
19:07
wig 1
-
17:30
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
16:34
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
12:01
Gravity and gravitation 1
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
0,999... = 1 ?
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 1.264
Re: 0,999... = 1 ?
Tuurlijk. Een andere manier:
\(0,999...=0,333...+0,333...+0,333...=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\)
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.
-
- Moderator
- Berichten: 8.166
Re: 0,999... = 1 ?
M.i. moet je dan eerst bewijzen dat 0,333... gelijk is aan 1/3:
10 x = 3,333...
x = 0,333... -
---------------
9 x = 3,000...
>> x = 3,000... / 9
10 x = 3,333...
x = 0,333... -
---------------
9 x = 3,000...
>> x = 3,000... / 9
-
- Berichten: 4.320
Re: 0,999... = 1 ?
Het eerste bewijs wat ik leerde was met een meetkundige reeks.
x=9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/10000 + .....................................
De eerste term a=9/10
De rede is 1/10
Via de limietsom volgt x=1
x=9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/10000 + .....................................
De eerste term a=9/10
De rede is 1/10
Via de limietsom volgt x=1
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
-
- Berichten: 1.264
Re: 0,999... = 1 ?
1/3=0,333... kan je ook aantonen a.d.h.v. staartdeling en inductie.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.
-
- Berichten: 4.320
Re: 0,999... = 1 ?
Het mag zo voor alle repeterende breuken dat is me bekend.Michel Uphoff schreef: Is 0,999.. gelijk aan 1, en mag je dat zo bewijzen?
De drie puntjes (ellipsis) staan voor een oneindige herhaling.
Stel x = 0,999...
10 x = 9,999...
x = 0,999... -
---------------
9 x = 9,000...
>> x = 1,000...
PS.
Er zit wel een addertje onder het gras, ze zijn beide op te vatten als oneindig lange reeksen.
Die mogen niet zomaar in elkaar geschoven worden daar zijn voorwaarden voor.
Hier is echter dik aan voldaan.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
-
- Berichten: 1.617
Re: 0,999... = 1 ?
Mag het ook zo? Lijkt mij niets mis mee maar echte wiskundigen zijn weleens onredelijk streng op onverwachte momenten 
1 - 0,999.... = 1,000 ... - 0,999 ... = 0,000 ... = 0
1 - 0,999.... = 1,000 ... - 0,999 ... = 0,000 ... = 0
-
- Berichten: 52
Re: 0,999... = 1 ?
Is 0,999.. gelijk aan 1
In principe nooit. Het resultaat nadert 1. Je kunt wel met inductie bewijzen, dat 1.00 - 0.{9}n van boven nadert tot 0, naarmate n toeneemt.. en dat de benadering (dus) beter is, naarmate je 9's toevoegt !
1. neem aan dat 0.{9}n < 1 blijft voor alle n
2. en dat 0.{9}n+1 > 0.{9}n
=> het verschil 1.0-0.{9}n nadert 0 als n toeneemt
Ik ben overigens programmeur, geen wiskundige, maar dit is wat ik me van school herinner voor inductieve bewijzen..
-
- Moderator
- Berichten: 5.547
Re: 0,999... = 1 ?
Michel Uphoff schreef:Is 0,999.. gelijk aan 1, en mag je dat zo bewijzen?
De drie puntjes (ellipsis) staan voor een oneindige herhaling.
Stel x = 0,999...
10 x = 9,999...
x = 0,999... -
---------------
9 x = 9,000...
>> x = 1,000...
Hier wordt uitgelegd dat je bewijs niet klopt omdat je niet zegt wat je met decimaal geschreven getallen bedoelt. De lezer kan het interpreteren als de verzameling van 'pseudoreele' getallen waarvoor 0.999.. = 1 niet geldt, en de distributieve eigenschap 10·x - x = (10-1)·x ook niet.
-
- Moderator
- Berichten: 8.166
Re: 0,999... = 1 ?
Hier wordt uitgelegd
Mijn ideetje blijkt dus verre van origineel, zoals vaker.
Maar is 0,999... nu wel of niet gelijk aan 1, of is daar geen consensus over?
-
- Pluimdrager
- Berichten: 3.505
Re: 0,999... = 1 ?
Indien je uitsluitend binnen de reële getallen werkt is 0,999... inderdaad gelijk aan 1.Michel Uphoff schreef:
Mijn ideetje blijkt dus verre van origineel, zoals vaker.
Maar is 0,999... nu wel of niet gelijk aan 1, of is daar geen consensus over?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
-
- Berichten: 1.617
Re: 0,999... = 1 ?
Ze zijn echt gelijk.
Misschien is het volgende bewijs wiskundig acceptabel:
Als 0,999... ongelijk is aan 1, dan moet er een verschil zijn tussen 1 en 0,999... dat groter is dan nul. Geef me het verschil, en noem het delta.
Ik geef je dan het aantal 9's achter de komma, bijv. N = -10 log(delta) +1. Met zoveel 9's is het verschil altijd kleiner. Dat kan altijd want voor elke delta groter dan nul is -log(delta) een reëel getal.
Als het verschil bestaat dan is het te groot. Dus het verschil bestaat niet. Dus ze zijn gelijk.
Misschien is het volgende bewijs wiskundig acceptabel:
Als 0,999... ongelijk is aan 1, dan moet er een verschil zijn tussen 1 en 0,999... dat groter is dan nul. Geef me het verschil, en noem het delta.
Ik geef je dan het aantal 9's achter de komma, bijv. N = -10 log(delta) +1. Met zoveel 9's is het verschil altijd kleiner. Dat kan altijd want voor elke delta groter dan nul is -log(delta) een reëel getal.
Als het verschil bestaat dan is het te groot. Dus het verschil bestaat niet. Dus ze zijn gelijk.
-
- Berichten: 1.264
Re: 0,999... = 1 ?
Dat vind ik wel wat vergezocht van de lezerjkien schreef: De lezer kan het interpreteren als de verzameling van 'pseudoreele' getallen waarvoor 0.999.. = 1 niet geldt, en de distributieve eigenschap 10·x - x = (10-1)·x ook niet.
Voor een rigoureus bewijs moet je natuurlijk eerst strakke definities hebben voor de begrippen 'reëel getal' en 'gelijkenis tussen reële getallen'. Daarnaast moet je ook definiëren wat een getal met oneindig repeterende decimalen precies is.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.
-
- Berichten: 4.320
Re: 0,999... = 1 ?
In de definitie van repeteren zit het begrip oneindig al ingebakken.Flisk schreef: Dat vind ik wel wat vergezocht van de lezer
Voor een rigoureus bewijs moet je natuurlijk eerst strakke definities hebben voor de begrippen 'reëel getal' en 'gelijkenis tussen reële getallen'. Daarnaast moet je ook definiëren wat een getal met oneindig repeterende decimalen precies is.
Beter lijkt me om het begrip ""komma getal"" wat beter duidelijk te maken dan kan simpel via meetkundige reeksen.
PS.
Repeteren is geen eigenschap van een getal,
het hangt van het talstelsel af of een getal al dan niet repeteert.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
-
- Berichten: 52
Re: 0,999... = 1 ?
Michel Uphoff schreef:
Mijn ideetje blijkt dus verre van origineel, zoals vaker.
Maar is 0,999... nu wel of niet gelijk aan 1, of is daar geen consensus over?
De snelle consensus hier is er in elk geval wel. Ik sputterde nog wat. Ik denk dat er een verschil is tussen naderen tot en gelijk zijn aan.
Het zal wel de notatiewijze zijn met de drie puntjes, die me op het verkeerde been zette.
Voor elk aantal negens n hou ik een fout over van 0.1*10-n-1
Bij ∞ negens wordt de fout
0.1*10-∞-1 =10-∞ = 0
