Als ik de functie f(x) = 1/(1+x^2) integreer door x te substitueren met tan t, dan kom ik uit op de arctan x.
Als ik dan vervolgens die functie integreer door eerst de breuk te splitsen, dan kom ik op 'n minteken na uit op de logaritmische vorm van de arctangens. Maar ik snap niet zo goed waar 't fout gaat.
1/(1+x^2) = A/(x+i) + B/(x-i)
A(x-i) + B(x+i) = 1
(A+B)x + (B-A)i = 1
A+B=0
B=-A
(B-A)i=1
B-A=-i
-2A=-i
A=i/2
B=-i/2
i/(1+x^2)=i/2*(1/(x+i)-i/(x-i))
Integreren geeft i/2*(log(x+i)-log(x-i). C laat ik even buiten beschouwing.
Dat kun je samenvoegen tot i/2*log((x+i)/(x-i)) = i/2*log((ix-1)/(ix+1)), terwijl arctan x = i/2*log((1-ix)/(ix+1)).
Laatste berichten
-
00:15
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
22:27
positie 1
-
21:15
Weerfrustratie 9
-
18:24
Schroefdraad berekening 5
-
18:08
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
14:16
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
14:16
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
13:57
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
10:42
projectiel 8
-
10:37
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
09:25
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Logaritmische vorm arctangens
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Logaritmische vorm arctangens
Mafkees schreef: B=-A
Ga na: B-A=-i
Mafkees schreef: i/(1+x^2)=i/2*(1/(x+i)-i/(x-i))
Hoe kom je hieraan ...
-
- Berichten: 7.068
Re: Logaritmische vorm arctangens
Ik vermoed dat je hier een tikfout hebt gemaakt (dat de eerste i een 1 moet zijn).i/(1+x^2)=i/2*(1/(x+i)-i/(x-i))
\(\frac{1}{1+x^2} = \frac{i}{2} \cdot \left( \frac{1}{x + i} - \frac{1}{x - i} \right) = \frac{i}{2} \cdot \left( \frac{1}{i + x} + \frac{1}{i - x} \right)\)
Integreer de meest rechter vorm eens. 
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Logaritmische vorm arctangens
De standaardintegraal is:
\(\int \frac 1 x dx=\ln|x| +C\)
-
- Berichten: 7.068
Re: Logaritmische vorm arctangens
En geldt dit ook in het complexe vlak?De standaardintegraal is:
\(\int \frac 1 x dx=\ln|x| +C\)
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Logaritmische vorm arctangens
Jij kiest de variabele x en niet z ...
-
- Berichten: 7.068
Re: Logaritmische vorm arctangens
En jij denkt dat als je x gebruikt dat dat betekent dat je automatisch binnen de reeele getallen blijft? Wat denk je dat die i is dan?
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Logaritmische vorm arctangens
Ok, i is een constante met de eigenschap i2=-1, verder bekijkt de TS de primitieve van 1/(1+x2) dus x is reële variabele ...
-
- Berichten: 7.068
Re: Logaritmische vorm arctangens
Het klopt dat x een variabele is met een reeele waarde, maar de TS blijft bij zijn tweede methode niet binnen het reeele domein.
-
- Berichten: 1.264
Re: Logaritmische vorm arctangens
Je kan niet zomaar met primitieven/standaardintegralen werken in het complexe vlak. Vaak zijn die afhankelijk van het pad.
Een integraal over de complexe getallen is niets anders dan een lijnintegraal.
In dit geval een lijnintegraal over een stukje van de reële as.
De parametervoorstelling van dit stukje is t+0i met t in [c,x], waarbij c een constante is. Dan krijg je voor die lijnintegraal
Nu kan je het integradum splitsen in reëel deel en imaginair deel, bij dit laatste haal je de constante term i buiten de integraal. Daarna staan er enkel nog maar 2 reëele integralen.
Een integraal over de complexe getallen is niets anders dan een lijnintegraal.
In dit geval een lijnintegraal over een stukje van de reële as.
De parametervoorstelling van dit stukje is t+0i met t in [c,x], waarbij c een constante is. Dan krijg je voor die lijnintegraal
\(\int f(z)dz=\int_c^x f(t,0) \frac{\text{d} (t+0i)}{\text{d}t}\text{d}t=\int_c^x f(t,0)\text{d}t\)
Iets wat je wel verwacht.Nu kan je het integradum splitsen in reëel deel en imaginair deel, bij dit laatste haal je de constante term i buiten de integraal. Daarna staan er enkel nog maar 2 reëele integralen.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Logaritmische vorm arctangens
Ik laat dit verder aan jullie over ...
-
- Berichten: 338
Re: Logaritmische vorm arctangens
EvilBro schreef: Ik vermoed dat je hier een tikfout hebt gemaakt (dat de eerste i een 1 moet zijn).
\(\frac{1}{1+x^2} = \frac{i}{2} \cdot \left( \frac{1}{x + i} - \frac{1}{x - i} \right) = \frac{i}{2} \cdot \left( \frac{1}{i + x} + \frac{1}{i - x} \right)\)Integreer de meest rechter vorm eens.
Ja, dat was idd 'n tikfoutje. En nu kom ik idd wel goed uit als ik dat rechterdeel integreer. De verwarring zat 'm in de absolute waarde binnen de logaritme.
De integraal van 1/x is zowel log|x| als log|-x|.
-
- Berichten: 7.068
Re: Logaritmische vorm arctangens
Ik vrees dat de verwarring elders zit. De absolute waarde van een complex getal is reeel. Als je absoluutstrepen binnen de logaritme zou gebruiken dan kan de afgeleide nooit een complex getal zijn. Het feit dat dit niet kan en dat enkel een andere schrijfwijze leidt tot een ander antwoord, zou je moeten doen vermoeden dat de aanpak niet zondermeer kan.
Een andere manier om dit in te zien: arctan(x) heeft een reeele waarde. Geldt dit ook voor jouw complexe equivalent als je absoluutstrepen gebruikt?
Een andere manier om dit in te zien: arctan(x) heeft een reeele waarde. Geldt dit ook voor jouw complexe equivalent als je absoluutstrepen gebruikt?
