[Moduultheorie] Equivalentie van twee concepten

Uomo Universale

Bewijs dat de volgende twee concepten equivalent zijn:
(a) een Z-moduul
(b) een abelse groep M samen met een groepsmorfisme

\(\phi: M \rightarrow M\)

met de eigenschap dat

\(\phi \circ \phi = -id\)

[/b]
----------------------------------------------------------------------------------------------

(a) Slaat dus op een abelse groep (N, +) waarop een scalaire vermenigvuldiging gedefinieerd is met een element vanuit de zogenaamde "ring van gehelen van Gauss".

Ik zou dus moeten aantonen dat de abelse groepen M en N equivalent zijn, echter heb ik totaal geen idee op welke manier je zoiets kan aantonen. Iemand suggesties?

Demophilus

Beschouw eerst een Z-moduul, M. Uiteraard is dit dan per definitie een abelse groep, vind nu een gepaste groepsmorfisme met die eigenschap.

Beschouw dan een abelse groep N met zo'n groepsmorfisme

\(\phi\)

zodat

\( \phi \circ \phi = -id\)

, vindt nu een gepaste scalaire vermenigvuldiging

\( \cdot\)

waarvoor N een Z-moduul wordt.

Uomo Universale

Bedankt voor de voorzet Demophilus! Hopelijk komt dit al aardig in de buurt..

Van (a) naar (b):
Beschouw M = Z-moduul; -> Dan is M per definitie een abelse groep

Nu zoeken we een groepsmorfisme phi zodanig dat:

\(\phi \circ \phi = -id\)

Beschouw het volgende groepsmorfisme:

\(\phi: Z[i] \rightarrow Z[i]: z \rightarrow z \cdot i\)

- Dit is effectief een morfisme (want

\(\phi(z_1 + z_2) = \phi(z_1) + \phi(z_2))\)

- De samenstelling van dit morfisme is inderdaad:

\(\phi \circ \phi = -id\)

Van (b) naar (a):
Vertrekkende vanuit een abelse groep (M, +) met dat groepsmorfisme phi, gaan we nu op zoek naar een scalaire vermenigvuldiging waarvoor M een Z-moduul wordt.

De scalaire vermenigvuldiging die hieraan voldoet is:

\(Z[i] X M \rightarrow M: (z,v) \rightarrow z \cdot v\)

Deze scalaire vermenigvuldiging voldoet aan de axioma's voor modulen, bijgevolg is M een Z-moduul.

Demophilus

Uomo Universale schreef:
De scalaire vermenigvuldiging die hieraan voldoet is:
\(Z[i] X M \rightarrow M: (z,v) \rightarrow z \cdot v\)
Deze scalaire vermenigvuldiging voldoet aan de axioma's voor modulen, bijgevolg is M een Z-moduul.

Alles hiervoor is zeker juist, maar hier definieer je niet wat deze scalaire vermenigvuldiging is.
Wat is precies

\( z \cdot v \)

?

Uomo Universale

Demophilus schreef: Alles hiervoor is zeker juist, maar hier definieer je niet wat deze scalaire vermenigvuldiging is.
Wat is precies
\( z \cdot v \)
?

\(z \in Z[i]\)

Dus

\(z := a + bi (a, b \in Z)\)

De scalaire vermenigvuldiging is dan als volgt gedefinieerd:

\(z \cdot v := (a + bi) \cdot v := a \cdot v + bi \cdot v\)

Is het zo goed gedefinieerd als ik dit eraan toevoeg?

Demophilus

Je moet heel precies zijn. Bijvoorbeeld, voor

\( a \in \mathbb{Z}, v \in M\)

, wat is

\( a \cdot v\)

?
En wat is

\( i \cdot v\)

? Geen van beide heb je gedefinieerd hier.

Een tip, in het algemeen voor alle bewijzen, als een opdracht je vraagt om een implicatie of een equivalentie te bewijzen en je hebt één van de eigenschappen niet gebruikt dan heb je het waarschijnlijk niet goed bewezen. Je moet hier dus nog het groepsmorfisme

\(\phi\)

gebruiken.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[Moduultheorie] Equivalentie van twee concepten

[Moduultheorie] Equivalentie van twee concepten

Re: [Moduultheorie] Equivalentie van twee concepten

Re: [Moduultheorie] Equivalentie van twee concepten

Re: [Moduultheorie] Equivalentie van twee concepten

Re: [Moduultheorie] Equivalentie van twee concepten

Re: [Moduultheorie] Equivalentie van twee concepten