Moduulmorfismen van R naar zichzelf

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 02-12-'15, 17:37

Uomo Universale

Berichten: 411

Moduulmorfismen van R naar zichzelf

Zij R een ring, beschouwd als een R-moduul. Bepaal alle R-moduulmorfismen van R naar zichzelf.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 
Deze ogenschijnlijk makkelijke vraag bezorgt me nogal wat hoofdbrekens. In plaats van een "opsomming" te geven van afbeeldingen tussen R en zichzelf die ook een morfisme zijn, lijkt het me nuttiger om net die afbeeldingen te zoeken die geen morfismen zijn. Echter lijk ik nogal rap vast te lopen. Welke afbeelding zou gevonden kunnen worden tussen R en zichzelf die geen morfisme is?
M.a.w. voor welke afbeelding is
\(\theta(v+w) \neq \theta(v) + \theta(w) \vee \theta(rv) \neq r\theta(v)\)
?
 
Iemand die een duwtje kan geven?
Omhoog

Bericht 02-12-'15, 23:40

Demophilus

Berichten: 112

Re: Moduulmorfismen van R naar zichzelf

Dat lijkt me net heel gemakkelijk, kijk bijvoorbeeld wat er gebeurd voor de afbeelding zodat
\(\theta(0) = v \ne 0\)
? Is deze afbeelding een morfisme?
 
Alleszins wordt het zo volgens mij moeilijk om op de vraag te beantwoorden. Een betere richting lijkt mij om het element
\( \theta(1)\)
te bestuderen.
Omhoog

Bericht 05-12-'15, 13:13

Uomo Universale

Berichten: 411

Re: Moduulmorfismen van R naar zichzelf

Zoals wel vaker heb ik het moeilijk om startend bij mezelf zo'n gemakkelijke voorbeelden te vinden. Natuurlijk is uw voorbeeld geen morfisme. Bij uitbreiding lijkt me iedere afbeelding die een element afbeeldt op een bepaald vast element al zeker geen morfisme (dus van de vorm
\(\theta: R \rightarrow R:r \rightarrow a\)
Ook lijkt me verder dat afbeeldingen die bijvoorbeeld een element afbeelden op zichzelf "plus een constante" ook geen morfismen kunnen zijn (dus van de vorm
\(\theta: R \rightarrow R:r \rightarrow r+a\)
En zo zijn er wss wel nog een heel deel voorbeelden te vinden waar ik nu niet meteen aan denk.
 
Het voornaamste hierbij lijkt me dat de eenheidselementen voor zowel de optelling als voor de (scalaire) vermenigvuldiging niet behouden blijven en vermoedelijk ligt daar dan net de "clue" van deze vraag? Echter zie ik verder nog niet meteen hoe ik dan een algemene afbeelding zou kunnen definiëren die een morfisme is.
 
Daarnaast: wat bedoelt u precies met "bestudeer het element
\(\theta(1)\)
"? Op welke manier kan ik dit doen?
Omhoog

Bericht 05-12-'15, 13:19

Demophilus

Berichten: 112

Re: Moduulmorfismen van R naar zichzelf

Zoek naar de minimale informatie die je nodig hebt om de afbeelding volledig vast te leggen, een hint is dus
\( \theta(1)\)
.
Omhoog

Bericht 05-12-'15, 16:32

Uomo Universale

Berichten: 411

Re: Moduulmorfismen van R naar zichzelf

Hmm... Ik geraak hier nog niet meteen mee verder. De identiteitsafbeelding en afbeeldingen die een element op een veelvoud van zichzelf afbeelden lijken me altijd morfismen te zijn, maar dit zijn waarschijnlijk niet de enige? Wat ik nu precies met die
\(\theta(1)\)
kan aanvangen is me ook nog een raadsel...
 
Een afbeelding vastleggen kan volledig door het volgende op te schrijven:
\(\theta: R \rightarrow R: v \rightarrow \theta(v)\)
en hierbij duidelijk te maken wat
\(\theta(v)\)
is.
 
Een veralgemening voor morfismen zou het volgende kunnen zijn:
\(\theta: R \rightarrow R: r(v+w) \rightarrow r(\theta(v) + \theta(w))\)
maar ik heb eigenlijk geen idee in hoeverre je een afbeelding op deze manier mag noteren..
 
Nog verdere tips? Want hier lijk ik wat rond de pot te draaien zonder echt te weten hoe ik verder moet.
Omhoog

Bericht 05-12-'15, 22:00

Demophilus

Berichten: 112

Re: Moduulmorfismen van R naar zichzelf

voor
\( r \in R\)
en een morfisme
\( \theta: R \to R\)
, geldt
\( \theta (r ) = \theta(1 \cdot r) = r \theta(1)\)
.

Dus als je
\( \theta(1) \)
kent, wat weet je over
\( \theta\)
?

En hoeveel manieren zijn er om
\( \theta(1)\)
een waarde toe te kennen?
Omhoog
Reageer

Terug naar “(Lineaire) Algebra en Meetkunde”