Toewerken naar ln(a)

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 32

Toewerken naar ln(a)

Ik weet:
 
\(\lim_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h} = \ln(a)\)
 
Ik weet alleen niet meer waarom dat zo is. Ik heb geprobeerd te googelen, maar ik kwam hierbij vooral rekenregels m.b.t. ln() tegen. Maar geen afleiding waarom bovenstaande limiet gelijk is aan ln(a). Wie kan mij op weg helpen?

Gebruikersavatar
Berichten: 4.312

Re: Toewerken naar ln(a)

Mag het met De l'Hopital?
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Toewerken naar ln(a)

Hint: wat weet je van de limiet als a = e? Kijk eens of je zo via ah = eln a verder komt.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Berichten: 32

Re: Toewerken naar ln(a)

Beide suggesties (De l'Hopital en a=e) brengen mij in een vicieuze cirkel. Laat ik anders even uitleggen wat de oorspronkelijke vraag was.

De vraag luidde of
\(f(x)=2^x\)
differentieerbaar is. Daarvoor moet gelden dat de volgende limiet bestaat:
\(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)
Invullen geeft:
\(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{2^{x+\Delta x}-2^x}{\Delta x}\)
Na hier en daar herschrijven kom ik uiteindelijk op:
\(\lim_{\Delta x \to 0} 2^x(\frac{2^{\Delta x}-1}{\Delta x})\)
Oftewel:
\(2^x\cdot\lim_{\Delta x \to 0} (\frac{2^{\Delta x}-1}{\Delta x})\)
En die laatste limiet is in dezelfde vorm als de limiet in m'n eerste bericht:
\(\lim_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}\)
Uit deze limiet komt
\(\frac{0}{0}\)
. Wanneer ik deze limiet m.b.v. de stelling van De l'Hopital ga benaderen, zal ik van de teller en de noemer eerst de afgeleide moeten bepalen. Dat betekent dat ik van
\(a^h\)
de afgeleide moet zien te bepalen, maar daarmee ben ik weer bij de oorspronkelijke vraag beland. Dus daar schiet ik helaas niets mee op.

Met de tweede suggestie (a=e) kom ik ook niet verder; de uitdrukking
\(e^{h \cdot \ln{a}}\)
bevat ook weer een uitdrukking in de vorm
\(a^b\)
.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Toewerken naar ln(a)

Vinnie Terranova schreef:
\(\lim_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h} = \ln(a)\)
 
Ken je de standaard limiet: 
 
\(\lim_{h\to 0} \frac{e^h-1} h=...\)
 
Zo ja, waarom is dat zo? Ken je het "plaatje" wat hierbij hoort ...

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Toewerken naar ln(a)

Vinnie Terranova schreef: Beide suggesties (De l'Hopital en a=e) brengen mij in een vicieuze cirkel. Laat ik anders even uitleggen wat de oorspronkelijke vraag was.

De vraag luidde of
\(f(x)=2^x\)
differentieerbaar is. Daarvoor moet gelden dat de volgende limiet bestaat:
\(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)
 
Voor een rigoureus bewijs moet je gebruik maken van de definitie van ax. Alleen voor positief natuurlijke getallen x spreekt het voor zich wat ax voorstelt. De betekenis van ax heeft men stapsgewijs uitgebreid naar een steeds grotere klasse van toelaatbare exponenten. Er zijn verschillende manieren om dat klaar te spelen. Strikt genomen kan je vraagstuk alleen worden opgelost wanneer ergens is aangegeven welke definitie van ax voor reële exponenten x moet worden gehanteerd.

Berichten: 32

Re: Toewerken naar ln(a)

Safe schreef:  
Ken je de standaard limiet: 
 
\(\lim_{h\to 0} \frac{e^h-1} h=...\)
 
Zo ja, waarom is dat zo? Ken je het "plaatje" wat hierbij hoort ...
Volgens mij komt er uit die limiet 1 uit, maar waarom dat zo is, weet ik niet. Het 'plaatje' zegt me ook niets...
@Professor Puntje, ik denk dat het dan wel heel ingewikkeld gaat worden...?

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Toewerken naar ln(a)

Vinnie Terranova schreef:@Professor Puntje, ik denk dat het dan wel heel ingewikkeld gaat worden...?
 
Probeer eerst de andere tips maar uit. Als dat niets oplevert kunnen we het alsnog langs de rigoureuze weg proberen...

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Toewerken naar ln(a)

Vinnie Terranova schreef: Volgens mij komt er uit die limiet 1 uit, maar waarom dat zo is, weet ik niet. Het 'plaatje' zegt me ook niets...
 
Is jouw plaatje een grafiek van de functies 2x en 3x en daartussen ex ...  
Zo ja, deze krommen gaan allemaal door het punt (0,1). De limiet:
 
\(\lim_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h} = \ln(a)\)
 
is niets anders als de rico van de raaklijn in het punt (0,1). Eens?
Zo ja, wat weet je (ongeveer) van deze rico's voor a=2 en a=3 ...

Reageer