Afstand tot de maan berekenen

Freshman

Vorige opdracht

Inleiding Astrofysica: Aristarchus en de afstand tot de maan

Deel B: De afstand tot de Maan
Nu de oude grieken de grootte van de aarde hadden bepaald, waren er verschillende methodes mogelijk om de afstand tot de maan te schatten. Aristarchus (310 BC) had hier een belangrijk aandeel in. De meest elegante methode is misschien wel die met behulp van een maanverduistering. Wat is een maanverduistering?

Afbeelding

De aarde heeft een schaduwkegel achter zich, waar soms de maan achter schuil gaat. Hierdoor valt er geen zonlicht op de maan, en wordt deze verduisterd. Dit staat beschreven in de figuur hierboven. De oude grieken konden al zien dat de zon een halve graad aan de hemel beslaat (dit is gelijk aan hoek alfa - zie figuur). Hoe lang is de aard-schaduwkegel (punt A naar punt C), gemeten in aard-diameters?

Op de foto zie je goed hoe de maan de aardschaduwkegel binnengaat. Maak een schatting van hoeveel groter die kegel is t.o.v. de maan. Dit noemen we even factor K (de kegeldoorsnede is K keer groter dan de maan).

We weten ook dat de schijnbare diameter van de maan even groot is als die van de zon (denk aan zonsverduistering!). Dus, op de figuur is hoek alfa gelijk aan hoek beta. Dit betekent dat de afstand A-B, K keer groter is dan de afstand B-C... Dus afstand:

\(AC = (K+1).BC\)

Dus, hoe groot is de afstand aarde-maan in Aard-diameters? En in Kilometers? Hoeveel wijkt dit af van de werkelijke waarde?

Hoe groot is de maan?

Gefeliciteerd! Je hebt de afstand tot het eerste hemellichaam bepaald!!!

----------

Goed, dit is het volgende waar ik mee bezig ga, maar heb nog geen idee hoe ik dit ga aanpakken. Ook hier weer niets voorzeggen of direct de hele uitleg geven, anders leer ik er niets van! Ergens zit ik al in gedachte dat ik gegevens van de vorige opdracht kan gebruiken of de manier van berekenen. Het eerste waar ik aan denk is dat ik vanuit de vorige opdracht de afstand tot de zon kan berekenen. Ik wist daar hoeveel graden hoog de zon stond en had gegevens over de hoek. Daar moet ik iets mee kunnen zegt mijn gevoel en zal daar ook wat mee proberen. Ook weet ik vanuit die opdracht de straal van de aarde en heb het vermoeden dat ik daarmee weer een soort hoek naar de maan kan berekenen. Afijn, ik zal zien hoever ik kom en als ik er echt niet meer uit kom dan zal ik hier vragen om een tip.

Freshman

Ergens toen ik aan het tekenen was viel mij het hoesje van de potloden op, en nu ineens heb ik een raar idee dat ik hier mogelijk wel iets mee kan. Komt door de bogen en rondjes die ik zie, bedacht mij door de lijnen dat daar ook wel iets mee te doen is, en in de opdracht staat iets van voor elkaar schuiven. Hoe lang het duurt dat de schaduw verschuift of iets..... zet mij aan het denken.

Afbeelding

Er moet iets zijn met die bogen en een halve maan, anders zou er geen halve maan op het plaatje bij de opdracht staan. En er is misschien wel iets met tijd aan de hand. Hoe lang het duurt dat de maan om de aarde draait of dat de aarde x tijd nodig is om de schaduw te creëren.... En ik zit weer ergens in booggraden te denken wat ook met de tijd te maken had.

En als ik nadenk over een halve maan is het natuurlijk niet letterlijk door de helft maar met een boog...... hmmmmm Als ik nu eens wat verder uitteken en dan allemaal bogen en rondjes er in ga maken dan krijg ik vanzelf wel diverse soorten hoeken.....

Freshman

Goed, ik zou het niet weten hoe ik dit moet aanpakken, kan iemand mij een hint geven?

Michel Uphoff

Het eerste wat je moet doen is de totale lengte (A-C) van de kegel uitrekenen.
Je kent de tophoek van de kegel (0,5 graden) en de basis van de kegel (de diameter van de Aarde)
De afstand A-C kan je het beste uitdrukken in aarddiameters, dus:

: Image1.jpg (8.55 KiB) 2059 keer bekeken

Hoe groot is dan A-C?

Vervolgens zou je moeten weten hoe vaak de maandiameter in de schaduwkegel past, de gevraagde waarde van K. Hier een goede weergave van de totale maansverduistering van vorig jaar:

: Super Blood Moon Lunar Eclipse (09-27-15)EDT.jpg (26.58 KiB) 2055 keer bekeken

Terzijde: Ik volg hier de opgave, en die komt niet overeen met de manier waarop Aristarchus werkte. Wil je daar meer van weten, zie dan bijvoorbeeld hier.

Freshman

Straal = 7.745.192,314
tan ∠ = 0,5°

aanliggende = overstaande/tan(hoek)
7.745.192,314 / (tan o,5°) = 887.511.132,3 m
7.745.192,314 x 2 = 15.490.384,63
887.511.132,3 / 15.490.384,63 = 57,29 aarddiameters

K = 3
15.490.384,63 / 6 = 2.581.730,771
Straal = 2.581.730,771
tan ∠ = 0,5°
2.581.730,771 / (tan 0,5°) = 295.837,044
295.837,044 / 15.490.384,63 = 0,0190 aarddiameters

3 x 295.837,044 = 887.511,132

Hoeveel wijkt dit af van de werkelijke waarde?

384.400.000 - 295.837 = 384.104.163,00

-------

Hmm dit is wel een heel groot verschil als ik het zo zie, zou toch denken dat mijn berekening dan echt voor geen meter klopt. En om eerlijk te zijn vind ik de opdracht ook vrij onduidelijk want naar welk plaatje kijk ik voor het verschil? Plaatje één, 3 keer en plaatje twee 2 keer.... Merk ook dat ik veel te ingewikkeld denk en bezig ben voor mijzelf. Heb mijn bureau vol liggen met tekeningen en allemaal tijden erbij en seconden hoe lang iets draait en weet ik het allemaal. Zat wel 1 prachtige tekening bij al zeg ik het zelf.... maar die laat ik niet zien.

Ik zeg kom maar op met alle tips en verbeteringen, want anders ben ik straks weer de hele nacht bezig om te begrijpen van het hoe of wat. En dat begint wel een beetje te vervelen als hier alle kennis aanwezig is en ik uren maar dan ook echt uren zit te verspelen met onzinnige dingen. En dankzij de verhelderende tekst van Michel heb ik tenminste nog iets berekent.

Freshman

Aristarchus (310 BC) had hier een belangrijk aandeel in.

die komt niet overeen met de manier waarop Aristarchus werkte

Klopt!

Michel Uphoff

Algemene opmerking:
We zijn hier met de 'natte vinger' aan het rekenen, en malen niet om afwijkingen van een procent. Dan heeft het geen zin om met zulke precieze getallen te werken. Rond alles op pakweg 0,1% af. De berekening blijft in de juiste ordegrootte en zo verdrink je niet in de enorme getallen.

Een handig hulpmiddeltje voor deze functies is: SOSCASTOA. Als je dat woordje in je hoofd stampt weet je wat je moet berekenen:
SOS (Sinus=Overstaand/Schuin)
CAS (Cosinus=Aanliggend/Schuin)
TOA (Tangens=Overstaand/Aanliggend)

Jouw berekening:
Je berekent de tangens van 0,5 graden, maar dat moet (zie mijn voorbeeldje) de tangens van 0,25 graden zijn (0,00436).
We krijgen dus (TOA):
0,00436 = 0,5D/AC

D/AC = 0,00872

AC = 114,7D (jij had ongeveer de helft, zie je waarom?)

Wat je vervolgens doet om BC uit te rekenen ontgaat mij. Die K = 3 is wel ongeveer goed, maar daarna ga je goochelen met getallen en verdwaal je. In de opdracht stond een eenvoudige oplossing: AC = (K+1).BC

Wil je het eerst nog zelf berekenen, klik dan niet op de verborgen inhoud voor de uitkomst van het tweede deel:

Verborgen inhoud

Freshman

Ja natuurlijk is 0,25 omdat het een hoek berekening is en ik niet heb ingezien dat ik een rechte lijn moest trekken om een 90 graden hoek te zien. Vandaar dat ik telkens zo raar tegen het plaatje aan keek.

Nu snap ik de formule ook omdat ik toevallig naar wiskunde boeken aan het zoeken was en prof.puntje de hint gaf om in te kijken bij bol.com ; daar las ik dus ook dat het maal teken weggelaten mag worden.

Mijn vraag:
Het +1 teken is mij ergens nog wat onduidelijk en kan daar dan nog niet helemaal bij waarom deze in de formule staat. Ik weet dat ik er niets mee hoef te doen, maar waar het voor staat is mij nog onbekend.

Michel Uphoff

Het +1 teken is mij ergens nog wat onduidelijk

In dit schetsje staat de Maan halverwege de kegel, en raakt de umbrarand:

: Image1.jpg (41.63 KiB) 2044 keer bekeken

Het volgende geldt hier dus:

A-B = B-C

Hoek alfa = hoek bèta

K=1 (De Maan is exact de diameter van de umbra ter plekke)

A-C = 2 B-C

Dus: A-C = (K+1) B-C

Nu verkleinen we de Maan en verplaatsen hem naar d, hoek bèta blijft zo gelijk:

: Image1.jpg (44.11 KiB) 2043 keer bekeken

B-d = d-C, en K is nu exact 3.

A-C is nu 4 keer d-C. Hier geldt ook A-C = (K+1) d-C

Overigens is de stelling dat hoek alfa gelijk is aan bèta in de opgave onjuist. Er wordt een onuitgesproken aanname gedaan die er voor zorgt dat het al met al toch aardig klopt.

Kan jij ontdekken welke aanname dat is?

Freshman

Nee ik weet het niet, ik ben nu al twee dagen her en der overdag aan het nadenken, en kom er niet uit.

Wat ik wel weet is dat ik deze twee opdrachten die ik nu heb gedaan nog eens grondig ga doornemen om het beter te begrijpen.

Freshman

Doe toch een poging, laat me nog niet los dit.

De aanname is dat de zon even groot is als de maan. = gelijk aan, betekent hetzelfde. Als ik beide formules naast elkaar leg, krijg ik wellicht hetzelfde getal als uitkomst.... maar heb ik twee compleet verschillende berekeningen die niets met elkaar te maken hebben.?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Afstand tot de maan berekenen

Afstand tot de maan berekenen

Re: Afstand tot de maan berekenen

Re: Afstand tot de maan berekenen

Re: Afstand tot de maan berekenen

Re: Afstand tot de maan berekenen

Re: Afstand tot de maan berekenen

Re: Afstand tot de maan berekenen

Re: Afstand tot de maan berekenen

Re: Afstand tot de maan berekenen

Re: Afstand tot de maan berekenen

Re: Afstand tot de maan berekenen