Gegeven volgende uitdrukking:
\(\delta^2 = \frac{-\mu^2(5a\mu-4\mu^2-b)}{15a\mu-20\mu^2-3b}\)
waarbij \(a\)
en \(b\)
reële constanten zijn. Ik zoek voorwaarden op \(a\)
en \(b\)
zodanig dat \(\delta^2\)
strikt positief is. Ik kan zeker al besluiten dat dit equivalent is met:
\(\frac{5a\mu-4\mu^2-b}{15a\mu-20\mu^2-3b}<0.\)
Stel \(T = 5 a\mu - 4\mu^2 - b\)
dan kunnen we de ongelijkheid schrijven als \(\frac{T}{3T-8\mu^2}<0\)
. Er zijn dan twee mogelijkheden:(1)
\(T<0\)
en \(3T-8\mu^2>0\)
. Dit is onmogelijk aangezien dan \(T>\frac{8}{3}\mu^2 > 0\)
. (2)
\(T>0\)
en \(3T-8\mu^2<0\)
. Hieruit volgt dat \(0<T<\frac{8}{3}\mu^2\)
of met andere woorden \(0<-4\mu^2+5a\mu-b<\frac{8}{3}\mu^2\)
. Het is dus zo dat \(\delta^2>0\)
als en slechts als \( -4\mu^2+5a\mu-b>0\)
en \(15a\mu-20\mu^2-3b<0\)
. Deze twee kwadratische ongelijkheden zijn afzonderlijk eenvoudig om op te lossen, maar ik geraak nogal vast met ze gezamenlijk op te lossen. Ik zie namelijk niet goed in hoe ik de wortels van beide polynomen afzonderlijk op een efficiënte manier met elkaar kan vergelijkingen. Ik heb het gevoel dat ik steeds voorwaarden en condities over het hoofd zie. Alvast bedankt!
