Een zoeklicht L is aan de binnenkant van een cirkelvormig omheining met straal r geplaatst. Een jongen begint recht naar het middelpunt van de cirkel te lopen met een constante snelheid van 2.0 m/s vanaf een punt op de cirkel in een hoek van 90o t.o t.o.v. L. Met welke snelheid beweegt de schaduw van de jongen zich langs de binnenkant van de omheining wanneer de jongen halverwege is gekomen.
Ik heb de volgende afbeelding gemaakt:
- Toegepaste_Wiskunde_opg_5_6_14.JPG (50.92 KiB) 347 keer bekeken
De lamp is het punt L. J is de jongen, op weg naar M, en halverwege lijnstuk MB. Zijn schaduw valt op dat moment op punt S op de omheining. ML is uiteraard r en MJ = ½r. Nu heb ik gesteld r = 1 want r kan in de verhoudingen toch worden weggestreept. Dus: ML = 1 en MJ = ½.
Aangezien ΔMLJ ≈ ΔTLS ≈ ΔSLE valt te berekenen dat, als MJ = ½, TS gelijk is aan 4/5. Anders gezegd: TS/MJ = 8/5.
Tot zover de absolute lengten. Nu de snelheid. Uiteraard is JL2 = ML2 + MJ2. Differentieer:
\( \frac{dLJ} {dMJ} = \frac{MJ} {\sqrt{ML^2 + MJ^2}} \)
Welnu: ML = 1, MJ = ½ en dMJ = 2 (de snelheid van de jongen), derhalve:\( dLJ = \frac{2} {5}} {\sqrt{5}\)
d.w.z. de snelheid waarmee LJ 'toeneemt'. Verder geldt ook (gelet op de eerder berekende verhouding TS/MJ = 8/5) dat:\( dTS = \frac{8} {5}.dMJ = \frac{16}{5}\)
en ook:\( dLS = \frac{8} {5}.dLJ=\frac{16}{25}{\sqrt{5}\)
Ik heb dus nu twee snelheden (vectorgrootheden) waarvan ik nog de resultante moet bepalen. In de tekening is dat het dikke rode lijnstuk (en, niet toevallig) de raaklijn aan de cirkel in punt S. Die kan ik met de cosinusregel berekenen. Rekening houdend met
\( \cos\alpha = \cos \angle LJM=\frac{1}{5}{\sqrt{5}\)
kom ik voor de gevraagde snelheid uit op:
\( \frac{32}{25}{\sqrt{5}\)
of op 2,86 m/s.
Het boek geeft als antwoord:
\( -\frac{16}{5}\)
ofwel 3,2 m/s.Ik zou het er mee eens kunnen zijn als er gevraagd was:
Met welke snelheid beweegt de schaduw van de jongen zich langs TS wanneer de jongen halverwege is gekomen.
De schaduw beweegt zich echter over boog SE van de cirkel en dan telt ook snelheid mee waarmee lijnstuk LS van lengte verandert.
Of.... zit ik op het verkeerde spoor??????
