Springen naar inhoud

driehoeken?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Leon985

    Leon985


  • >25 berichten
  • 92 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 januari 2006 - 22:54

Je hebt een rechthoek met de zijden 12 centimeter en 10 centimeter. 12 in de hoogte en 10 in de breedte. Daarin worden kleinere driehoeken getekend, maar dan steeds kleiner. Dus 1e driehoek in de rechthoek, vervolgens 2e driehoek in 1e rechthoek, dan 3e driehoek in 2e driehoek en dat gaat eindeloos door (je begrijpt,.. de driehoeken worden steeds kleiner).
1e driehoek heet driehoek ABC, 2e heet driehoek DEF etc. De hoekpunten van de driehoek zijn telkens de middens van de zijde van de voorgaande driehoek. Dus je krijgt driehoek ABC mooi in beeld, hoekpunt A in de linkerhoek van de rechthoek, hoekpunt B in de rechterhoek van de rechthoek en hoekpunt C ligt middenboven van de rechthoek. Dan ligt een kleinere driehoek DEF in driehoek ABC. Hoekpunt F ligt in het midden van de lijn AB; hoekpunt E ligt in het midden van lijn AC en hoekpunt D ligt in het midden van lijn BC. En zo gaat dat ook voor de overige eindeloze driehoeken. Je snapt dat de driehoeken om en om de top van ABC eerst naar bovengericht is en de top van DEF naar beneden gericht is etc.

Maar wat is de formule un voor de oppervlakte van de ne-driehoek? Ofwel... hoe stel je die formule op?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 januari 2006 - 23:05

De oppervlakte van de eerste driehoek (U1) is 10*12/2 = 60. Iedere volgende driehoek is steeds half zo breed als de voorgaande en half zo hoog, dus de oppervlakte wordt steeds vier keer zo klein.

Conclusie: Un = 60 / 4n-1
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#3

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 21 januari 2006 - 00:35

Misschien is het aan te bevelen, Rogier, om toch even door te gaan op de getallen. Dus niet zo snel de formule. En laat zien dat die formule klopt voor de eerste, tweede en derde driehoek!

#4

Leon985

    Leon985


  • >25 berichten
  • 92 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2006 - 01:36

Misschien is het aan te bevelen, Rogier, om toch even door te gaan op de getallen. Dus niet zo snel de formule. En laat zien dat die formule klopt voor de eerste, tweede en derde driehoek!


Het gaat trouwens niet om alleen de 1e 3 driehoeken, maar voor de overige oneindige driehoeken die steeds in die driehoek kan.

Is die formule een rij of gewoon een willekeurig functie?

#5

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 januari 2006 - 02:41

Wat is er niet duidelijk aan de redenering? Iets uitgebreider dan, de beginstuatie is:
Geplaatste afbeelding
Dat de oppervlakte van de eerste driehoek (ABC) nu 12*10/2=60 is, is duidelijk toch?

Dus U1=60.

Nu de volgende stap. Die driehoek is een gelijkbenige driehoek (de twee schuine zijden zijn gelijk).
In die driehoek leg je op de volgende manier een nieuwe driehoek:
Geplaatste afbeelding
Dus op halve hoogte trek je een horizontale lijn en dat is de basislijn voor de volgende driehoek. Deze lijn is half zo breed als de basislijn van de driehoek waar je mee begint. En de hoogte van die nieuwe driehoek is natuurlijk ook de helft van de eerste. De nieuwe driehoek is daarom 4 zo klein.

En let op: deze constructie was niet speciaal voor de eerste driehoek, hij geldt voor iedere willekeurige gelijkbenige driehoek! Dus dezelfde stap kun je op de nieuwe driehoek ook weer toepassen. En daar weer op, enzovoort.

Iedere volgende driehoek is daarom steeds 4 keer zo klein als de vorige. Dus U2=U1/4=60/4, en U3=U2/4=60/42, en Un is 60 / 4n-1.


Is die formule een rij of gewoon een willekeurig functie?

Een rij is een functie van :roll: naar :roll:.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#6

Leon985

    Leon985


  • >25 berichten
  • 92 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2006 - 15:09

Wat is er niet duidelijk aan de redenering?

Nee hoor, je uitleg is prima.

Is die formule een rij of gewoon een willekeurig functie?

Een rij is een functie van :roll: naar :roll:.

Is dit dan geen meetkundige rij?

#7

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 januari 2006 - 15:15


Is die formule een rij of gewoon een willekeurig functie?

Een rij is een functie van :roll: naar :roll:.

Is dit dan geen meetkundige rij?

Jawel, maar iedere rij is een functie, dus ook een meetkundige rij :D
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#8

Leon985

    Leon985


  • >25 berichten
  • 92 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2006 - 15:26

Jawel, maar iedere rij is een functie, dus ook een meetkundige rij :roll:

Ahzo... zo heb ik het nog niet bekeken :roll:

Er wordt gevraagd hoeveelste driehoek de oppervlakte voor het eerst kleiner of minder is dan 0,01 cm2.
Nu kan ik dat wel simpel zo met die formule 1 voor 1 invoeren en kom dus tot de conclusie dat de oppv. van de 8e driehoek kleiner is dan 0,01 cm2. Maar ik denk niet dat het de bedoeling is om elke waarde 1 voor 1 uit te proberen :D

#9

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 januari 2006 - 15:36

Ik denk het ook niet :roll:

Weet je hoe je de vergelijking 60 / 4n-1 = 0.01 moet oplossen?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#10

why73

    why73


  • >100 berichten
  • 150 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2006 - 15:37

Er wordt gevraagd hoeveelste driehoek de oppervlakte voor het eerst kleiner of minder is dan 0,01 cm2.
Nu kan ik dat wel simpel zo met die formule 1 voor 1 invoeren en kom dus tot de conclusie dat de oppv. van de 8e driehoek kleiner is dan 0,01 cm2. Maar ik denk niet dat het de bedoeling is om elke waarde 1 voor 1 uit te proberen :roll:


Nee, maar als je de volgende vergelijking oplost en afrondt dan heb je je antwoord

0,01 = 60/4^n-1
Ik weet weinig van veel

#11

Leon985

    Leon985


  • >25 berichten
  • 92 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2006 - 16:11

0,01 = 60/4^n-1

Ohja.. helemaal vergeten.

Klopt dit:
0,01 = 60/4n-1
4n-1 = 60/0,01
4n-1 = 6000
(n-1).ln4 = ln6000
n-1 = ln6000/ln4000
n = (ln6000/ln4000) +1
n = 7,26
En dan op hele naar boven afronden, want het moet kleiner zijn dan 0,01. Dus is het 8e driehoek, right? :roll:

#12

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 januari 2006 - 16:31

Bingo :roll:
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#13

Leon985

    Leon985


  • >25 berichten
  • 92 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 januari 2006 - 16:37

Ik heb nog een vraagje:
Hoe kan je de totale oppervlakte berekenen uitgedrukt in n van de 1e n-driehoeken die een gelijke positie innemen als ΔDEF en niet als ΔABC. Ofwel met de top van de driehoek naar onder gericht.

#14

Leon985

    Leon985


  • >25 berichten
  • 92 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 januari 2006 - 01:25

Hm... ik snap niet hoe je de totale opp. kan berekenen, want die gaat toch eindeloos door?

#15

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 januari 2006 - 14:24

Die gaat inderdaad eindeloos door, d.w.z. iedere Un is positief dus de totale oppervlakte wordt steeds groter. Maar hij wordt niet onbeperkt groot: de toename wordt zodanig klein, dat de totale oppervlakte nooit boven een bepaalde grens uitkomt.

De totale oppervlakte van de eerste n driehoeken (laten we dit even Sn noemen) kun je zo berekenen:
Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un = 60*( (1/4)0+(1/4)1+(1/4)2+...(1/4)n-1 )

Als je beide kanten met (1-(1/4)) vermenigvuldigt, krijg je:
Sn*(1-(1/4)) = 60*( (1/4)0-(1/4)1 + (1/4)1-(1/4)2 + (1/4)2-(1/4)3 + ... + (1/4)n-1-(1/4)n )

En nu vallen er rechts een heleboel termen tegen elkaar weg:
Sn*(1-(1/4)) = 60*( (1/4)0-(1/4)n )
Dus Sn = 60*((1/4)0-(1/4)n)/(1-(1/4))

En aangezien limn[pijltje]:roll: Sn = 60*((1/4)0)/(1-(1/4)) = 80 kun je stellen dat "alle" driehoeken bij elkaar een totale oppervlakte van 80 hebben.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures