Kern en Beeld

Emil Peters

Hallo,

Als ik een lineaire afbeelding in matrixvorm gekregen heb. En er wordt gevraagd de kern en het beeld van deze afbeelding te bepalen.
Voor het bepalen van de kern is waar L(v) = 0. Dus los ik de matrix op met de o-Opl. Komt dit dus neer op het berekenen van de nulruimte van deze matrix?
Het beeld van de afbeelding is dan eigenlijk alles wat niet in de Kern zit. Is dit dan het berekenen van de kolomruimte van de matrix? Of is deze veronderstelling fout?

Er wordt dan ook gevraagd of deze afbeelding injectief/surjectief is. Dit is toch gewoon kijken of Ker(L) = {0}. Indien zo, is de afbeelding injectief/surjectief?

Mvg, Emil!

TD

Emil Peters schreef:Als ik een lineaire afbeelding in matrixvorm gekregen heb. En er wordt gevraagd de kern en het beeld van deze afbeelding te bepalen.

Voor het bepalen van de kern is waar L(v) = 0. Dus los ik de matrix op met de o-Opl. Komt dit dus neer op het berekenen van de nulruimte van deze matrix?

Dat klopt. Met een mxn-matrix A komt een lineaire afbeelding overeen die een vector x uit Rⁿ afbeeldt op de vector Ax uit R^m. De kern van de afbeelding bestaat uit alle vectoren van Rⁿ die door de matrix A op de nulvector (van R^m) worden afgebeeld; dat komt dus overeen met de nulruimte van de matrix A.

Emil Peters schreef:Het beeld van de afbeelding is dan eigenlijk alles wat niet in de Kern zit. Is dit dan het berekenen van de kolomruimte van de matrix? Of is deze veronderstelling fout?

Dat is niet helemaal goed; je moet de ruimtes goed uit elkaar houden. Zoals je hierboven kan zien, is de kern een deel van de vertrekruimte (het 'domein'; Rⁿin het geval van een mxn-matrix). De kern is dus een deelverzameling (zelfs deelruimte) van Rⁿ.

Het beeld is de verzameling van alle beelden. Met andere woorden: het is de verzameling van alle vectoren y = Ax uit R^m, als je van elke x uit Rⁿ het beeld bepaalt. Het beeld is dus een deelverzameling (opnieuw: zelfs deelruimte) van R^m. Het is dus niet 'alles wat niet in de kern zit', want dat is Rⁿ verminderd met de kern (maak eventueel een schets met Venn-diagrammen).

Het is inderdaad wél gelijk aan de kolomruimte van de matrix omdat het beeld van de lineaire afbeelding voorgebracht wordt door de kolommen van de matrix A; alle vectoren in het beeld zijn immers lineaire combinaties van de kolommen van A.

Emil Peters schreef:Er wordt dan ook gevraagd of deze afbeelding injectief/surjectief is. Dit is toch gewoon kijken of Ker(L) = {0}. Indien zo, is de afbeelding injectief/surjectief?

De afbeelding is injectief als de kern enkel de nulvector bevat (dat is oké), maar surjectiviteit heeft niet met de kern maar met het beeld te maken. Een afbeelding is surjectief als het beeld samenvalt met de aankomstruimte (het 'codomein'), dus als het beeld samenvalt met R^m in het geval van een mxn-matrix. Een afbeelding kan trouwens (o.a.) injectief maar niet surjectief zijn, of vice versa.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Kern en Beeld

Kern en Beeld

Re: Kern en Beeld