een hoek en zijn cosinus bij elkaar optellen

Jan van de Velde

voor een vergelijking waarbij een blokje met een beginsnelheid en een verondersteld constante wrijving een cirkelvormige helling opschuift zoek ik een wiskundige oplossing voor
0,625= 1-cos(α) + 0,2α
is die er eigenlijk?

: hoogte.gif (4.16 KiB) 1208 keer bekeken

na invullen en "schoonrekenen" van een energiebalans is de 0,625 is de aanvankelijke bewegingsenergie, de 1-cos(α) wat er overblijft voor de hoogteterm en de 0,2α wat er overblijft voor de term van wrijvingsarbeid.

en nu dus die hoek alfa zien te bepalen zodat ik de bereikte hoogte kan berekenen. Iemand die weet of dat kan en zo ja hoe dat moet, een hoek en zijn cosinus bij elkaar optellen? Áls het kan ben ik dat al 35 jaar weer vergeten...

bij voorbaat dank

Flisk

Gesloten vorm bestaat niet, klik.

Je kan het natuurlijk altijd numeriek benaderen.

Jan van de Velde

kijk, dank je, hoef ik niet voor niks verder op zoek.
Dan gaan we excel maar eens opstarten ...

Professor Puntje

Doet mij denken aan de:

https://nl.wikipedia.org/wiki/Vergelijking_van_Kepler#Vergelijking_van_Kepler

Mogelijk kun je het in die vorm schrijven, maar ook daar bestaat geen simpele oplossing voor. Een boek over die vergelijking is:

https://www.willbell.com/MATH/mc12.htm

Jan van de Velde

Welja, maak het nog wat ingewikkelder voor een niet-zo-wiskundige

als ik.
Maar even goed serieus bedankt voor je inbreng.

Pinokkio

0,625= 1-cos(α) + 0,2α
.
.
.
na invullen en "schoonrekenen" van een energiebalans is de 0,625 is de aanvankelijke bewegingsenergie, de 1-cos(α) wat er overblijft voor de hoogteterm en de 0,2α wat er overblijft voor de term van wrijvingsarbeid.

Als ik dat lees vraag ik me af in welke eenheden die vergelijking is.
Die α is in radialen, neem ik aan? Maar hoezo is dat dan een arbeid?
En als die 0,625 een energieterm is, in welke eenheden is dat dan?

Ik hoef er het fijne niet van te weten hoor, maar wellicht moet je nog eens verifiëren of je vergelijking correct is.

Jan van de Velde

alle termen zijn in joule

½mv² = mgh + Fs
voor h substitueer ik R-Rcos(α) (R de straal van de cirkel
voor s subsitueer ik Rα

½mv² = mg(R-Rcos(α)) + FRα

dat lijkt me dimensioneel te blijven kloppen zo

als ik dan de bekende factoren invul blijft er over wat ik eerder schreef
m=50 g
v=5 m/s
g=10 m/s²
R= 2 m
F=0,1 N (mallotig dat die wrijvingskracht constant blijft, maar zo is het puzzeltje nu eenmaal nadrukkelijk gegeven)

Wat inklemwerk levert me een hoek van 0,9664 radialen (significanties laten we even buiten beschouwing)

TD

Als alternatief voor inklemmen met Excel, Wolfram|Alpha lost dergelijke vergelijkingen zonder probleem (numeriek) op. Je kan ook meer decimalen naar believen vragen

.

Pinokkio

½mv² = mgh + Fs
voor h substitueer ik R-Rcos(α) (R de straal van de cirkel
voor s subsitueer ik Rα

½mv² = mg(R-Rcos(α)) + FRα

dat lijkt me dimensioneel te blijven kloppen zo

Dimensies kloppen, maar de formule is alleen juist zolang het blokje niet over de top gaat. Dus alleen als 0 ≤ α ≤ π
Of wellicht alleen als 0 ≤ α ≤ ½π als de snelheid te laag is om het blokje op de baan te houden (onvoldoende centrifugaalkracht)
Strikt genomen weet men dat niet van te voren in een echt praktijkprobleem.

Als beginsnelheid v zodanig groot is dat het blokje over de top zou gaan dan zal de zwaartekracht plotseling mee gaan werken i.p.v. tegenwerken en klopt die formule niet meer.

Wie net als TD in wolframalpha de grenswaardes 0 < α < 2π gebruikt voor een situatie met een hogere v van minstens 7,1 m/s krijgt op het scherm vaak meerdere oplossingen voor α , terwijl die snelheid nog lang niet hoog genoeg is om over de top te gaan.

Flisk

Je kan ook de cosinus benaderen m.b.v. zijn taylorreeks: cos(x)=1-x²/2!+...
Invullen geeft:
0,625=1-cos(α)+0,2α
<=> 0,625=1-1+α²/2+0,2α
<=> 0 = α²+0,4α-1,25
Wat een eenvoudige vierkantsvergelijking is met als oplossing voor α ongeveer 0,934

Voor grotere hoeken gebruik je best nog een extra term in de taylorreeks: cos(x)=1-x²/2!+x⁴/4!+...

Jan van de Velde schreef: F=0,1 N (mallotig dat die wrijvingskracht constant blijft, maar zo is het puzzeltje nu eenmaal nadrukkelijk gegeven)

Mee eens, die is hier verre van constant.

Jan van de Velde

Flisk schreef:
Voor grotere hoeken gebruik je best nog een extra term in de taylorreeks: cos(x)=1-x²/2!+x⁴/4!+...

dat mag in dit geval dan wel denk ik, want inklemmen geeft een hoek van 0,9664 radialen, dat vind ik best wel een significant verschil met 0,934.

Hoe dan ook, wat mij betreft is de kwestie geheel opgelost, allen dank

Jan van de Velde

Bij nader inzien:

rest slechts de vraag of er een andere aanpak van dit probleem denkbaar is die wél tot een analytische oplossing leidt.

Professor Puntje

Als je voor de ondervonden schuifweerstand nu eens een andere aanname doet waardoor die losse α wordt vervangen door een goniometrische functie van α. Wie weet lukt het dan wel...

Jan van de Velde

Professor Puntje schreef: een andere aanname doet

nee. het is niet de bedoeling het probleem aan te passen.

Professor Puntje

Ga uit van:

\( 0 < \alpha < \pi/2 \)

Dan krijgen we:

\( 0,625= 1 - \cos(\alpha) + 0,2 \, \alpha \)

\( \cos(\alpha) = 0,375 + 0,2 \, \alpha \)

\( \frac{\cos(\alpha)}{0,375 + 0,2 \, \alpha} = 1 \)

\( \alpha \cdot \frac{\cos(\alpha)}{(0,375 + 0,2 \, \alpha) \cdot \alpha} = 1 \)

\( \alpha \cdot \exp \left \{ \ln \left ( \frac{\cos(\alpha)}{(0,375 + 0,2 \, \alpha) \cdot \alpha} \right ) \right \} = 1 \)

Laat g de functie van (0,π/2) naar R zijn waarvoor:

\( \mbox{g}(x) = \ln \left ( \frac{\cos(x)}{(0,375 + 0,2 \, x) \cdot x} \right ) \)

Dan komt er:

\( \alpha \cdot e^{\mbox{g}(\alpha)} = 1 \)

En dat wijst in de richting van de zogeheten 'Lambert hyperfunction' als gesloten uitdrukking voor een oplossing. Zie:

https://www.researchgate.net/publication/225894260_Explicit_solution_of_the_Kepler_equation

Helaas is de definitie die in de link wordt gegeven mij niet helemaal duidelijk. Misschien kan iemand met meer kennis van de wiskunde daar nog even naar kijken...?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

een hoek en zijn cosinus bij elkaar optellen

een hoek en zijn cosinus bij elkaar optellen

Re: een hoek en zijn cosinus bij elkaar optellen

Re: een hoek en zijn cosinus bij elkaar optellen

Re: een hoek en zijn cosinus bij elkaar optellen

Re: een hoek en zijn cosinus bij elkaar optellen

Re: een hoek en zijn cosinus bij elkaar optellen

Re: een hoek en zijn cosinus bij elkaar optellen

Re: een hoek en zijn cosinus bij elkaar optellen

Re: een hoek en zijn cosinus bij elkaar optellen

Re: een hoek en zijn cosinus bij elkaar optellen

Re: een hoek en zijn cosinus bij elkaar optellen

Re: een hoek en zijn cosinus bij elkaar optellen

Re: een hoek en zijn cosinus bij elkaar optellen

Re: een hoek en zijn cosinus bij elkaar optellen

Re: een hoek en zijn cosinus bij elkaar optellen