Kromming van de tijd-as

Moderator: physicalattraction

Berichten: 369

Kromming van de tijd-as

Een massa kromt de 4 assen van de ruimtetijd. Als je de tijd-as rekenkundig weergeeft als een afstand (c.t), is de kromming dan gelijk aan de echte 3 ruimteassen?

Berichten: 656

Re: Kromming van de tijd-as

Als ik me goed herinner staat de tijdas onder 45 graden in een tweedimensionale weergave. Verder begrijp ik niet dat je de andere assen als echter bestempeld. Hoogte heeft maar een richting, breedte heeft maar een richting en lengte heeft maar een richting afzonderlijk zijn ze eendimensionaal dus net zo echt of onecht dan de tijdas. 

Berichten: 369

Re: Kromming van de tijd-as

Die 45 graden komt denk ik uit het Minkowskidiagram. De tijd-as staat loodrecht op alle andere assen, zoals ieder assenstelsel. Met echt bedoel ik ten opzichte van de tijd-as, die geen echte ruimte-as is.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: Kromming van de tijd-as

Nee, je kunt niet zeggen dat de kromming voor alle assen gelijk is. Sterker nog, je kunt sowieso niet zeggen dat 'een as gekromd is'.
 
Kromming in een gegeven punt in de tijd-ruimte wordt beschreven door een zogenaamde Riemann tensor. De Riemann tensor is een tensor van orde 4, wat will zeggen dat hij aan ieder paar assen een kromming toekent, en die kromming is weer beschreven door 16 getallen (1 getal voor ieder paar van assen).
 
Je kunt dus niet zeggen "de x-as heeft een kromming met waarde 5", maar het is eerder iets van:
"Het paar bestaande uit de x-as en de y-as heeft een kromming die wordt gegeven door de 2-tensor
\(3\hat{x}\otimes\hat{x} + 4\hat{x}\otimes\hat{y}+\dots+8\hat{t}\otimes\hat{t}.\)
 
Omdat de Minkowski ruimte 4-dimensionaal is, heb je 4x4= 16 paren van assen, en dus heb 16x16=256 getallen nodig om de totale kromming in een punt van de tijd-ruimte te beschrijven.
 
(Overigens zijn veel van die getallen altijd nul, en ze moeten aan een aantal symmetrie-eisen voldoen, waardoor je in werkelijkheid eigenlijk maar 20 getallen nodig hebt).
 
https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_curvature_tensor
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

Berichten: 369

Re: Kromming van de tijd-as

Ik neem aan dat deze formule de vorm van de kromming beschrijft in de ruimtetijd (met de massa in het centrum?). Maar de x-y-z kun je willekeurig kiezen en de zwaartekracht is daar natuurlijk niet afhankelijk van. De factoren van x-y-z moeten dus gelijk zijn. De vraag is of dat ook voor c.t. geld.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: Kromming van de tijd-as

DParlevliet schreef: de x-y-z kun je willekeurig kiezen en de zwaartekracht is daar natuurlijk niet afhankelijk van. De factoren van x-y-z moeten dus gelijk zijn. De vraag is of dat ook voor c.t. geld.
 
Maar zoals gezegd: de x- y- en z-as hebben geen krommingsfactoren. Het zijn paren van assen waar je een kromming aan toe kunt kennen.
 
 
Het is inderdaad wel zo dat de kromming gelijk moet bijven wanneer je de ruimte-assen met elkaar verwisselt, maar omdat we de 'krommingsfactoren' niet aan individuele assen toekennen maar aan paren van assen ligt het een stuk ingewikkelder dan simpelweg te zeggen dat alle factoren gelijk moeten zijn aan elkaar.
 
Overigens geldt niet alleen dat de kromming gelijk blijft onder het verwisselen van ruimte-assen, maar meer algemeen dat de kromming gelijk moet blijven onder iedere rotatie of spiegeling (merk op dat het verwisselen van ruimte-assen een speciaal geval is van rotatie of spiegeling).
 
Als we nu de tijdsdimensie er ook bij halen dan kunnen we dit nog verder generaliseren door op te merken dat de kromming ook invariant moet zijn onder Lorentztransformaties. Wiskundig gezien kun je een Lorentztransformatie zien als een "soort van rotatie" tussen een ruimte-as en de tijd-as.
 
Dus, om het antwoord op je vraag samen te vatten:
Nee, tijd en ruimte zijn niet gelijk aan elkaar dus je kunt de tijd-as niet met een ruimte-as verwisselen. Maar in plaats daarvan kun je wel Lorentztransformaties uitvoeren, die je als een soort tijd-ruimte rotatie kunt opvatten. En dan geldt, ja: de kromming moet invariant blijven onder spiegelingen, rotaties, en Lorentztransformaties.
 
 
Dit is waarschijnlijk niet het simpele antwoord waar je op gehoopt had, maar simpeler dan dit kan ik het helaas niet maken. Het is echt een illusie om te denken dat je de algemene relativiteitstheorie goed kunt begrijpen zonder eerst de zeer technische onderliggende wiskunde te leren.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Kromming van de tijd-as

Math-E-Mad-X schreef: Het is echt een illusie om te denken dat je de algemene relativiteitstheorie goed kunt begrijpen zonder eerst de zeer technische onderliggende wiskunde te leren.
 
En dat is alles behalve eenvoudig! :evil:

Berichten: 369

Re: Kromming van de tijd-as

Het ging mij om een sterk vereenvoudigde situatie. Stel de ruimte is leeg met één massa. Een bepaald punt in die ruimte heeft een kromming. Ik vroeg niet hoe groot die kromming is (daar zal die Riemann tensor voor zijn) maar of de kromming in dat punt voor x, y, z en c.t gelijk zijn (als dat punt het nulpunt is van dat stelsel). Uit jouw uitleg concludeer ik: ja, want voor de zwaartekracht maakt het niets uit hoe je het stelsel roteert, zowel in ruimte als in tijd. Als mijn conclusie van jouw antwoord klopt, dan heb ik mijn antwoord.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: Kromming van de tijd-as

DParlevliet schreef: Ik vroeg niet hoe groot die kromming is (daar zal die Riemann tensor voor zijn) maar of de kromming in dat punt voor x, y, z en c.t gelijk zijn 
 
Het probleem is dat jij hier toch weer een waarde aan de assen zelf wil toekennen.
 
Vragen naar de  "waarde van de kromming voor de x-as" is net zoiets als de vraag "wat is het verschil tussen een vogeltje?" en de vraag of de kromming van de x-as hetzelfde is als de kromming van de t-as, is dan zoeits als vragen of het verschil tussen een roodborstje even groot is als het verschil tussen een koolmeesje. Zo'n vraag kan ik helaas niet simpelweg met "ja" of "nee" beantwoorden.
 
Het enige wat ik kan zeggen is dat de kromming moet voldoen aan bepaalde symmetrie-eisen.
 
Overigens was ik in mijn vorige post al extreem slordig, want eigenlijk is het helemaal niet zo dat de kromming invariant moet zijn onder rotaties en Lorentztransformaties. Wat ik eigenlijk had moeten zeggen is dat de Riemann tensor op de juiste manier mee moet transformeren.
 
Dat ik op zich nog wel met een eenvoudig voorbeeld uitleggen. Stel de wind waait met 2 km/u van west naar oost. We kunnen nu een coordinaten stelsel kiezen, zodanig dat de x-as in de oost/west richting wijst, en de y-as in de noord/zuid richting. We kunnen de windrichting dan beschrijven als de rijvector (2 , 0).
 
Vervolgens besluiten we de namen van de assen te verwisselen. Voortaan noemen we de oost/west richting de y-as, en de noord-zuid richting de x/as. Merk nu op dat de windrichting nu plotseling gegeven wordt door de rijvector (0 , 2). Uiteraard is de wind zelf niet van richting veranderd als gevolg van onze naamswijziging, maar de getallen waarmee we de windrichting beschrijven zijn wel veranderd.
 
Dit geldt natuurlijk ook voor rotaties. We kunnen er bijvoorbeeld ook voor kiezen om de y-as in de noordoost/zuidwest richting te kiezen en de x-as in noordwest/zuidoost richting. Nu wordt de windrichting plotseling beschreven met de rijvector
\((\sqrt{2} , \sqrt{2})\)
 
De moraal van dit verhaal: zelfs als de tijd-ruimte kromming (of de windrichting) niet afhankelijk is van de keuze van de x-, y- en z-as, dan nog is het wel degelijk het geval dat de waarden waarmee je deze grootheden beschrijft van die keuze afhankelijk kunnen zijn.
 
(let alleen wel op dat we in het geval van windrichting dus wel een waarde aan de x-as of de y-as toe kunnen kennen, want windrichting is een vector, maar dat we dat dus niet kunnen doen voor kromming, want kromming is een 4-tensor)
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: Kromming van de tijd-as

DParlevliet schreef: Uit jouw uitleg concludeer ik: ja, want voor de zwaartekracht maakt het niets uit hoe je het stelsel roteert, zowel in ruimte als in tijd. Als mijn conclusie van jouw antwoord klopt, dan heb ik mijn antwoord.
 
Het antwoord wat ik gaf zat eigenlijk ergens tussen ja en nee in.
 
Je zou kunnen zeggen ja, want de Riemann tensor transformeert onder Lorentztransformaties op een manier die vergelijkbaar is met de manier waarop hij transformeert onder rotaties.
 
Maar je zou ook kunnen zeggen nee, want de manier waarop de Riemann tensor transformeert onder Lorentztransformaties is niet exact hetzelfde als de manier waarop hij transformeert onder rotaties.
 
Maar mijn antwoord is sowieso niet echt een antwoord op jouw vraag, want jouw vraag ging niet over transformaties, maar over de waarde van de t-as. En daar kan ik dus helaas geen zinnig antwoord op geven.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

Gebruikersavatar
Berichten: 5.609

Re: Kromming van de tijd-as

Professor Puntje schreef:  
En dat is alles behalve eenvoudig! :evil:
Ik ben nu dit aan het volgen. Susskind heeft een 10-delige lessenreeks op Stanford waar hij het eens goed uitlegd (alvast binnen mijn kennis van wiskunde).
 
Ik weet dat je een hekel hebt aan de man omdat hij er al eens hoekjes af rijdt in rigoreuziteit, maar voor mij vindt hij hier echt een goede balans in deze lessenreeks. Ik zit nu aan les 6. En het is echt vrij goed doenbaar. Tot les 4 is het vooral het uitleggen van de benodigde wiskunde, wat ook handig is.
 
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet

And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign

-Alanis Morisette-

Gebruikersavatar
Berichten: 5.609

Re: Kromming van de tijd-as

DParlevliet schreef: Het ging mij om een sterk vereenvoudigde situatie. Stel de ruimte is leeg met één massa. Een bepaald punt in die ruimte heeft een kromming. Ik vroeg niet hoe groot die kromming is (daar zal die Riemann tensor voor zijn) maar of de kromming in dat punt voor x, y, z en c.t gelijk zijn (als dat punt het nulpunt is van dat stelsel). Uit jouw uitleg concludeer ik: ja, want voor de zwaartekracht maakt het niets uit hoe je het stelsel roteert, zowel in ruimte als in tijd. Als mijn conclusie van jouw antwoord klopt, dan heb ik mijn antwoord.
Neen, dat is dus niet zo. De Rieman tensor heeft 20 verschillende waarden, elk voor een andere kromming op je punt in de ruimte. Je hebt alle 20 de waarden nodig om te beschrijven hoe de kromming er op je punt in de ruimte uit ziet.
 
Er is dus niet zomaar een kromming in x, y, z en ct. Nee, er is een kromming van het x-ct-vlak in het yz-vlak, er is er een van het xy-vlak in het z-ct-vlak. Als je zo alle mogelijke combinaties maakt, dan zie je min of waar het probleem zit. (En ik ga hier fel uit de bocht, want zo simpel is het ook niet). Maar de ruimte kromt op 1 punt dus op 20 onafhankelijk verschillende manieren. En het kan op al die 20 manieren tegelijkertijd krommen.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet

And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign

-Alanis Morisette-

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Kromming van de tijd-as

317070 schreef:Ik ben nu dit aan het volgen. Susskind heeft een 10-delige lessenreeks op Stanford waar hij het eens goed uitlegd (alvast binnen mijn kennis van wiskunde).
Die reeks heb ik ook even geprobeerd, maar ik vond het veel te slordig.

 
Ik weet dat je een hekel hebt aan de man omdat hij er al eens hoekjes af rijdt in rigoreuziteit, maar voor mij vindt hij hier echt een goede balans in deze lessenreeks. Ik zit nu aan les 6. En het is echt vrij goed doenbaar. Tot les 4 is het vooral het uitleggen van de benodigde wiskunde, wat ook handig is.

 

Vervelend genoeg lijkt de man (qua uiterlijk) ook nog op mij. :?
 
Waar ik wel veel aan heb gehad (hoewel het uiteindelijk toch boven mijn pet ging) zijn de lessen van onderstaande "jonge god" over de ART:
 
https://www.youtube.com/channel/UC6SaWe7xeOp31Vo8cQG1oXw/feed
 
De reeks lessen begint met "Lecture 1: Topology (International Winter School on Gravity and Light 2015)"  (De URL kon ik niet vinden.)

 
 
Ik heb sterk de indruk dat het zo moet, wil je de zaak wiskundig correct aanpakken.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.557

Re: Kromming van de tijd-as

Professor Puntje schreef: Ik heb sterk de indruk dat het zo moet, wil je de zaak wiskundig correct aanpakken.
 
Wat vooral van belang is, is dat men de zaak natuurkundig correct aanpakt.
Cetero censeo Senseo non esse bibendum

Berichten: 369

Re: Kromming van de tijd-as

Ik probeer een indruk te krijgen van de kromming (de formule) door te kijken naar vereenvoudigde situaties. Stel: er zijn slechts 2 dimensies, het gebied waar Newton geldt en binnen de nauwkeurigheid van Newton (dus niet exact):
Afbeelding
In de eerste situatie zijn er twee ruimteassen waarin y gekromd is (een eventuele kromming van x wordt genegeerd), dus: z = 0, c.t = 0. (en y ≈ 0)
De tweede is identiek maar nu met de c.t as, dus z = 0, y = 0. (en c.t ≈ 0)
Mijn vraag was, in dat geval: is de kromming van c.t ongeveer gelijk aan de kromming van y?

Reageer