Aantal unieke stroomkringen in een netwerk (kirchoff)

krymly

Goede dag allen,
Deze vraag over een elektrotechnisch schema even bij de wiskunde gedaan gezien het door een ervaren wiskundige waarschijnlijk beter op te lossen is dan een elektrotechneut.

Ik heb een stroomschema van 15 spanningscontacten. Tussen elk paar van deze contacten (punten) zit een weerstand. (15-14/2=105 weerstanden) Door elke weerstand loopt een stroom (105 stromen).
Ik wil zo goed mogelijk dit systeem in kaart brengen. Hiervoor gebruik ik de wetten van Ohm en Kirchoff:
met 105 weerstanden en stromen: 105x wet van ohm
met 15 spanningspunten: 15x stromenwet van kirchoff

Nu is er ook nog de spanningwet van kirchoff. Deze stelt dat voor elke kring die te tekenen is binnen een stroomschema de som van de spanningen gelijk is aan 0. De vraag is hoeveel van deze kringen zijn er? Hierbij moet worden opgelet dat je soms 2 kringen in elkaar kunt uitdrukken, en het gaat om unieke kringen.

Als ik de boel op papier teken kom ik bij minder spanningscontacten als volgd uit (tekeningen in bijlage):
3 contacten - 1 loop
4 contacten - 3 loops
5 contacten - 6 loops
6 contacten - 10 loops

Veel verder wordt het niet echt meer tekenbaar. Voor zover ik kan zien lijkt het een reeks te vormen van driehoeksgetallen. Bij het tekenen valt mij ook op dat de kringen bestaan uit driehoeken. Maar ik kan niet echt een goede afleiding/beargumentatie vinden dat dit daadwerkelijk een driehoekgetallen reeks vormt. Kan iemand hier verduidelijking in brengen?

Alvast bedankt!

DOC001.pdf: (104.48 KiB) 90 keer gedownload

krymly

Deze post omdat ik misschien een antwoord heb gevonden op mijn vraag. Aan jullie nog wel de vraag of het logisch klinkt.

Stel je hebt een n aantal contacten, met daarin m loops. Op het moment dat je midden in een bestaande loop een extra contact plaatst, en deze met elk ander contact verbind, breek je 1 loop op (degene waarin je het nieuwe contact plaatst). Hiervoor komen dan n nieuwe loops terug. Zodoende komen bij een extra spanningpunt als je systeem begint met n punten, n-1 loops bij.

Dit zou inderdaad de reeks zoals hierboven weergegeven opleveren, maar zoals eerder gesteld, weet ik niet helemaal of dit logisch klinkt, dus graag feedback. Verder ben ik ook nog op zoek naar een fatsoenlijke wiskundige afleiding hiervoor.

Professor Puntje

Lang geleden heb ik op school geleerd om uit passieve circuits direct een matrixvergelijking af te lezen waarvan de oplossing de stromen en spanningen in het circuit levert. Maar het waarom werd daarbij niet verteld, en bijgevolg is het verhaal bij mij ook niet goed blijven hangen. Ik vermoed dat het bewijs van die methode ook het antwoord op je vraag zal geven.

317070

krymly schreef: Deze post omdat ik misschien een antwoord heb gevonden op mijn vraag. Aan jullie nog wel de vraag of het logisch klinkt.

Stel je hebt een n aantal contacten, met daarin m loops. Op het moment dat je midden in een bestaande loop een extra contact plaatst, en deze met elk ander contact verbind, breek je 1 loop op (degene waarin je het nieuwe contact plaatst). Hiervoor komen dan n nieuwe loops terug. Zodoende komen bij een extra spanningpunt als je systeem begint met n punten, n-1 loops bij.

Dit zou inderdaad de reeks zoals hierboven weergegeven opleveren, maar zoals eerder gesteld, weet ik niet helemaal of dit logisch klinkt, dus graag feedback. Verder ben ik ook nog op zoek naar een fatsoenlijke wiskundige afleiding hiervoor.

Dat klopt. En je afleiding klopt ook.

Nog fundamenteler: ieder netwerk heeft 1 oplossing. Er zijn n onbekenden. Bij iedere knoop dat je toevoegt, komen er n onbekenden bij. Er komt maar 1 stroomwet bij, dus moet er n-1 spanningswetten bijkomen om het aantal oplossingen constant te houden.

Wil je de afleiding treffelijker maken, dan moet je kijken naar de duale graaf van je probleem. Daarin zijn je 'loops' punten, edges blijven edges, en je punten worden 'loops'. Dan kun je op dezelfde manier tellen als je de stromenwet telde.

Ik vermeld het hier, omdat die benadering je nog andere belangrijke inzichten geeft. De stromenwet van Kirchoff is hetzelfde als de spanningswet van Kirchoff, maar dan in de duale graaf. Beide wetten vormen elkaars duale. Die dualiteit is fundamenteel in elektromagnetisme.

krymly

Hartelijk dank, in ieder geval goed om te horen dat zoals ik er naar kijk klopt.

Je begint stellen dat er n onbekenden zijn. Wat noem jij hier onbekenden? Gezien dat in de praktijk lijkt me afhankelijk is van de waarden die je meet. Verder komt bij een systeem van n spanningspunten bij toevoeging van één punt: n weerstanden, n stromen en 1 spanning bij. Aan wetten dan n wetten van ohm, 1 spanningswet van Kirchhoff, en n-1 stromenwetten bij.

De duale graaf is voor mij een onbekend begrip dus zal eens kijken of ik me daar een beetje in kan lezen voor ik daar meer vragen over stel. Maar mocht je goed materiaal weten is dat welkom.

317070

krymly schreef: Je begint stellen dat er n onbekenden zijn. Wat noem jij hier onbekenden? Gezien dat in de praktijk lijkt me afhankelijk is van de waarden die je meet. Verder komt bij een systeem van n spanningspunten bij toevoeging van één punt: n weerstanden, n stromen en 1 spanning bij. Aan wetten dan n wetten van ohm, 1 spanningswet van Kirchhoff, en n-1 stromenwetten bij.

Sorry, ik heb het inderdaad anders leren oplossen.

Een netwerk met N knopen heeft N*(N-1) onbekenden (spanningen over iedere tak en stromen over iedere tak).
Voeg je 1 knoop toe, dan neemt je aantal onbekenden toe met 2*N
Je weet ook wat meer, namelijk N wetten van Ohm, 1 stromingswet van Kirchoff en N-1 spanningswetten van Kirchoff. Er komen dus 2N wetten bij.

N*(N-1) + 2*N = (N+1)*N. Bij inductie heeft het stelsel dus exact 1 oplossing voor ieder aantal knopen.

Dus er moeten inderdaad N-1 onafhankelijke spanningswetten zijn.

krymly schreef: en 1 spanning bij

Het feit dat je maar 1 spanning nodig hebt, is een gevolg van de spanningswetten van Kirchoff. Dus dan kun je die wet niet meer gebruiken in je stelsel. Dan ziet de redenering er zo uit:

Een netwerk met N knopen heeft N + N*(N-1)/2 onbekenden (spanningen per knoop + stromen over iedere tak).

Voeg je 1 knoop toe, dan neemt je aantal onbekenden toe met N+1

Je weet ook wat meer, namelijk N wetten van Ohm en 1 stromingswet van Kirchoff. Er komen dus N+1 wetten bij.

Voor duale graaf: https://en.wikipedia.org/wiki/Dual_graph

krymly

Wederom allereerst bedankt voor de reply.

je verhaal klinkt op zich best logisch. Nu ga jij uit van de onbekenden spanningen en stromen. Voor mij zijn het voornamelijk de weerstanden en stromen. Misschien handig om even mijn volledige scenario te omschrijven.

Ik heb een black box met daaruit komend 15 draadjes (spanningen). In deze black box zit tussen elk van deze spanningspunten een weerstand van onbekende grootte, het doel is deze te bepalen. De metingen die ik kan doen zijn op 2 van de 15 draadjes een stroom te sturen. (zo wordt de stromen wet van kirchoff niet gelijk aan nul, maar +/- de externe stroom voor die 2 knopen. Nadeel is dat ik op die 2 knopen dan geen spanning weet. De spanning op de overige 13 punten wordt wel gemeten en is dus een bekende.

Ik heb dus als onbekende:
N*(N-1)/2=105 weerstanden
N*(N-1)/2=105 stromen
2 spanningen.
totaal: 212 onbekenden

Ik heb dan ook een aantal vergelijkingen:
N*(N-1)/2=105 wet van Ohm
N=15 stromen wet van Kirchhoff
(N-1)*(N-2)=91 keer spanning van kirchoff (dit is vooral geëxtrapoleerd vanaf mijn oorspronkelijk gevonden reeks)
totaal: 211 vergelijkingen.

Intuitief zou ik verwachten dat ik 2 vergelijkingen te kort kom i.p.v. 1. Immers er zijn 2 spanningen die ik niet weet. Dus de vraag hoe zit dit?
Nu weet ik dat dit stelsel niet op te lossen is, maar door een 2e meting te verrichten met andere stroomtoevoeren, komen er vergelijkingen bij. Dan heb ik wederom 211 vergelijkingen met 212 onbekenden. Als ik dan het stelsel van de 1e meting reduceer tot 1 vergelijking, kan ik deze gebruiken als extra vergelijking in de 2e meting om zo het stelsel oplosbaar te maken.

Enfin, om ook terug te komen op mijn oorspronkelijke vraag, de hoeveelheid loops (spanningwetten) in een grid van N punten is dus (N-1)(N-2). Dat is me ondertussen helder. nu de vraag hoe ik deze loops kan identificeren. Volgens mij is het iig zo dat er geen unieke manier is om dit te doen, dus heb je enig idee wat hiervoor zou kunnen werken?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Aantal unieke stroomkringen in een netwerk (kirchoff)

Aantal unieke stroomkringen in een netwerk (kirchoff)

Re: Aantal unieke stroomkringen in een netwerk (kirchoff)

Re: Aantal unieke stroomkringen in een netwerk (kirchoff)

Re: Aantal unieke stroomkringen in een netwerk (kirchoff)

Re: Aantal unieke stroomkringen in een netwerk (kirchoff)

Re: Aantal unieke stroomkringen in een netwerk (kirchoff)

Re: Aantal unieke stroomkringen in een netwerk (kirchoff)