Geldt A=P-1AP?
- Berichten: 1.247
Geldt A=P-1AP?
Hoi,
Oké, dus stel we hebben een x in R.
Dan geldt:
xI=P-1(xI)P,
met P een inverteerbare nxn matrix, en I de identiteitsmatrix n.
Dit is een identiteit die o.a. gebruikt wordt in een zeker bewijs dat gelijkvormige matrices dezelfde karakteristieke veelterm hebben.
Goed, ik heb dit voor mezelf kunnen checken/bewijzen. Nu is mijn vraag, geldt het volgende ook:
Zij A een nxn matrix en P een nxn inverteerbare matrix. Dan geldt: A=P-1AP. (1)
Ik weet het zelf echt even niet. Ik zou graag gewoon een bewijs of een tegenvoorbeeld zien, desnoods een die al uitgetypt is op een of ander math-forum.
Dank je!
Edit.
Oké, mijn vermoeden is dat dit niet klopt. Het hele idee achter gelijkvormige matrices A en B is dat je A kunt schrijven als:
A=P-1BP,
met P een inverteerbare matrix.
A is uiteraard gelijkvormig met zichzelf, omdat (1) geldt wanneer we P=identiteitsmatrix kiezen...
Oké, ik heb het maar gewoon even uitgewerkt en een simpel 2x2 tegenvoorbeeld gevonden.
Ik schrok eerst even, omdat ik zelf helemaal niet verwachtte dat P-1xIP=xI, maar dat is eigenlijk wel logisch, want met P-1xI krijg je in feite P-1, maar dan elke waarde keer x. Aangezien P-1P=I, zie je makkelijk (of je het schrijft het uit) dat P-1xI=xI.
Never mind dus!
Oké, dus stel we hebben een x in R.
Dan geldt:
xI=P-1(xI)P,
met P een inverteerbare nxn matrix, en I de identiteitsmatrix n.
Dit is een identiteit die o.a. gebruikt wordt in een zeker bewijs dat gelijkvormige matrices dezelfde karakteristieke veelterm hebben.
Goed, ik heb dit voor mezelf kunnen checken/bewijzen. Nu is mijn vraag, geldt het volgende ook:
Zij A een nxn matrix en P een nxn inverteerbare matrix. Dan geldt: A=P-1AP. (1)
Ik weet het zelf echt even niet. Ik zou graag gewoon een bewijs of een tegenvoorbeeld zien, desnoods een die al uitgetypt is op een of ander math-forum.
Dank je!
Edit.
Oké, mijn vermoeden is dat dit niet klopt. Het hele idee achter gelijkvormige matrices A en B is dat je A kunt schrijven als:
A=P-1BP,
met P een inverteerbare matrix.
A is uiteraard gelijkvormig met zichzelf, omdat (1) geldt wanneer we P=identiteitsmatrix kiezen...
Oké, ik heb het maar gewoon even uitgewerkt en een simpel 2x2 tegenvoorbeeld gevonden.
Ik schrok eerst even, omdat ik zelf helemaal niet verwachtte dat P-1xIP=xI, maar dat is eigenlijk wel logisch, want met P-1xI krijg je in feite P-1, maar dan elke waarde keer x. Aangezien P-1P=I, zie je makkelijk (of je het schrijft het uit) dat P-1xI=xI.
Never mind dus!
- Berichten: 1.247
Re: Geldt A=P-1AP?
Ik deed echt super moeilijk, maar ik had even niet door dat x gewoon een schalingsfactor was, door die identiteitsmatrix.