[wiskunde] Partieel differentiëren: Van der Waals equation
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
- Berichten: 1
Partieel differenti
https://postimg.org/image/4hiv1wb93/23eaade9/
Hallo,
Mijn oplosmethode lijkt hier niet te werken:
- (1) V uitdrukken in T en andere symbolen
- (2) Differentiëren naar T en andere symbolen als constante beschouwen
Echter krijg ik in deze situatie V niet uitgedrukt in T. De uitwerking begrijp ik niet echt helaas.
Alvast bedankt voor hulp/advies.
Hallo,
Mijn oplosmethode lijkt hier niet te werken:
- (1) V uitdrukken in T en andere symbolen
- (2) Differentiëren naar T en andere symbolen als constante beschouwen
Echter krijg ik in deze situatie V niet uitgedrukt in T. De uitwerking begrijp ik niet echt helaas.
Alvast bedankt voor hulp/advies.
- Berichten: 24.578
Re: Partieel differenti
Het lijkt me beter om de uitwerking proberen te begrijpen, je kan deze vergelijking namelijk niet (eenvoudig) oplossen naar V.
Je moet alles (partieel) afleiden naar T waarbij gegeven is dat je n en p als constanten beschouwt. Uit de uitwerking leid ik af dat ook a, b en R constanten zijn. Aangezien V wel functie is van T, moet je de kettingregel gebruiken.
De functie die je moet differentiëren bestaat uit twee termen: die doe je elk apart. De eerste term is een product, dus daarvoor moet je de productregel gebruiken (of de haakjes eerst wegwerken). De afgeleide van nRT naar T is nR, dus ik ga verder met de eerste term; pas de productregel ((uv)'=u'v+uv') toe:
Die laatste afgeleide is eenvoudig: er blijft alleen ∂V/∂T over want de afgeleide van nb naar T is 0.
Voor die eerste afgeleide: die van p naar T is 0, die van 1/V² wordt met de kettingregel -2/V³ * ∂V/∂T.
Breng ∂V/∂T buiten haakjes en je kan vereenvoudigen. Kan je van hier de uitwerking weer volgen?
Je moet alles (partieel) afleiden naar T waarbij gegeven is dat je n en p als constanten beschouwt. Uit de uitwerking leid ik af dat ook a, b en R constanten zijn. Aangezien V wel functie is van T, moet je de kettingregel gebruiken.
\(\frac{\partial}{\partial T}\left(\left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right)\left(V-nb\right)-nRT\right)\)
De functie die je moet differentiëren bestaat uit twee termen: die doe je elk apart. De eerste term is een product, dus daarvoor moet je de productregel gebruiken (of de haakjes eerst wegwerken). De afgeleide van nRT naar T is nR, dus ik ga verder met de eerste term; pas de productregel ((uv)'=u'v+uv') toe:
\(\left(\frac{\partial}{\partial T}\left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right)\right)\left(V-nb\right)+\left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right)\frac{\partial}{\partial T}\left(V-nb\right)\)
Die laatste afgeleide is eenvoudig: er blijft alleen ∂V/∂T over want de afgeleide van nb naar T is 0.
Voor die eerste afgeleide: die van p naar T is 0, die van 1/V² wordt met de kettingregel -2/V³ * ∂V/∂T.
\(\left(-\frac{2n^2a}{V^3}\frac{\partial V}{\partial T}\right)\left(V-nb\right)+\left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right)\frac{\partial V}{\partial T}\)
Breng ∂V/∂T buiten haakjes en je kan vereenvoudigen. Kan je van hier de uitwerking weer volgen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 216
Re: Partieel differenti
Impliciet differentieren zal je wel helpen.
schrijf de vergelijking als f(p,V,n)=nRT. Dan links naar V differentieren en rechts naar T, dv/dT = "rechts"/"links"
schrijf de vergelijking als f(p,V,n)=nRT. Dan links naar V differentieren en rechts naar T, dv/dT = "rechts"/"links"