[wiskunde] Partieel differentiëren: Van der Waals equation

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 1

Partieel differenti

https://postimg.org/image/4hiv1wb93/23eaade9/
 
Hallo,
 
Mijn oplosmethode lijkt hier niet te werken:
 
- (1) V uitdrukken in T en andere symbolen
 
- (2) Differentiëren naar T en andere symbolen als constante beschouwen
 
Echter krijg ik in deze situatie V niet uitgedrukt in T. De uitwerking begrijp ik niet echt helaas.
 
Alvast bedankt voor hulp/advies.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Partieel differenti

Het lijkt me beter om de uitwerking proberen te begrijpen, je kan deze vergelijking namelijk niet (eenvoudig) oplossen naar V.
 
Je moet alles (partieel) afleiden naar T waarbij gegeven is dat je n en p als constanten beschouwt. Uit de uitwerking leid ik af dat ook ab en R constanten zijn. Aangezien V wel functie is van T, moet je de kettingregel gebruiken.
 
\(\frac{\partial}{\partial T}\left(\left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right)\left(V-nb\right)-nRT\right)\)
 
De functie die je moet differentiëren bestaat uit twee termen: die doe je elk apart. De eerste term is een product, dus daarvoor moet je de productregel gebruiken (of de haakjes eerst wegwerken). De afgeleide van nRT naar T is nR, dus ik ga verder met de eerste term; pas de productregel ((uv)'=u'v+uv') toe:
 
\(\left(\frac{\partial}{\partial T}\left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right)\right)\left(V-nb\right)+\left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right)\frac{\partial}{\partial T}\left(V-nb\right)\)
 
Die laatste afgeleide is eenvoudig: er blijft alleen ∂V/T over want de afgeleide van nb naar T is 0.
 
Voor die eerste afgeleide: die van p naar T is 0, die van 1/V² wordt met de kettingregel -2/V³ * V/T.
 
\(\left(-\frac{2n^2a}{V^3}\frac{\partial V}{\partial T}\right)\left(V-nb\right)+\left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right)\frac{\partial V}{\partial T}\)
 
Breng ∂V/T buiten haakjes en je kan vereenvoudigen. Kan je van hier de uitwerking weer volgen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 216

Re: Partieel differenti

Impliciet differentieren zal je wel helpen.

schrijf de vergelijking als f(p,V,n)=nRT. Dan links naar V differentieren en rechts naar T, dv/dT = "rechts"/"links"

Reageer