Cantors “diagonale” argument.

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 52

Cantors

Ik weet niet of ik dit onderwerp in het juiste subforum plaats, maar ik gok dat het bij analyse het beste thuishoort. Ik ben geen wiskundige. Op de HBS had ik op mijn eindlijst uitsluitend 7-tjes, en  in mijn ene jaar als chemie-student slaagde ik er zelfs in voor mijn wiskunde tentamen een 2  te halen. (ruime beloning voor het opschrijven van mijn naam en de datum) Maar ik kan net goed genoeg logisch denken, om te beseffen wanneer er onzin gedebiteerd wordt.
 
Tot mijn grote verbazing ontdekte ik onderstaande youtube video:
https://www.youtube.com/watch?v=0X6oQNkyZS4
 
Hoe is het mogelijk dat dergelijke onzin door een hoogleraar wordt gedoceerd, terwijl een relatieve leek zoals ik. In een oogopslag kan zien dat het flauwekul is?
 
Om te beginnen is vrijwel de helft van de natuurlijke getallen even en de helft oneven. Desalniettemin beweert de docent dat er evenveel  even getallen zijn als natuurlijke  getallen. Maar als dat zo is dan zouden er geen oneven getallen zijn. De denkfout is uiteraard, dat men “oneindig” voor een getal aanziet. Oneindig betekent dat er geen einde is. Het heeft niets met een getal te maken.
 
Nog doller wordt het in het “diagonale argument”. Hier wordt het aantal cijfers in een getal – als het “oneindig lang” zou zijn, gelijk geacht aan het aantal getallen dat je er mee kunt vormen. Uiteraard is dat niet waar. Laat het aantal decimale cijfers in het getal gelijk zijn aan Ω (een getal dat zo groot is als je maar kunt bedenken), dan is het aantal getallen dat je er mee kunt vormen 10. Dat is veel meer dan het aantal cijfers dat het  getal bevat. De rechthoek bestaande uit rijen met alle decimale getallen die je met Ω cijfers kunt vormen bevat dus vele malen meer rijen dan kolommen, Het is evident dat de meeste getallen helemaal niet in een vierkant met Ω rijen en Ω kolommen voorkomen, maar zich veel lager in de rechthoek bevinden.  Bekijk de simpeler voorbeelden: 1 ciijfer lang zijn er 9 “komma getalen” tussen 0 en 1 (0,1 0,2 0,3 t/m 0,9) is de rij is 9 maal zo lang als dat ze kolommen bevat. Bij twee cijfers, wordt de verhouding 2 tot 99. Ruim 49 keer zo lang als breed. Bij drie cijfers is het al 333 keer zo lang als breed. Het is complete waanzin om te veronderstellen dat een verhouding die naarmate het aantal cijfers toeneemt steeds ongelijker wordt, op magische wijze plotseling gelijk wordt als het aantal cijfers “oneindig” wordt.
 
De truc komt alleen dan  geloofwaardig over als men de getallen in een  willekeurige volgorde beziet. Het is dan onmogelijk om echte voorbeelden aan te treffen, en  wie niet goed oplet, denkt wellicht dat hier iets mee wordt bewezen. Uiteraard is aflopend sorteren onmogelijk. (je kunt niet bij “oneindig” beginnen, en oplopend sorteren leidt uitsluitend tot  getallen van de vorm 0,00000000000000000... Het doet er daarbij niet toe hoeveel cijfers met feitelijk laat zien of hoeveel rijen men laat zien, de enige cijfers die men kan krijgen zijn nullen. Om inzicht te krijgen moet je zodanig sorteren dat je eerst alle getallen krijgt met één cijfer achter de komma en verder alleen achterliggende nullen, daarna de getallen met twee cijfers etcetera. Alleen Dan krijg je inzicht omtrent de manier waarop de lijst is opgebouwd. De manier om dat te doen is als hoofdsortering het laatste cijfer te gebruiken dan het voorlaatste cijfer en dat het cijfer dáárvoor.
 
De lijst ziet er ongeveer als volg uit: Eerst de getallen 0,1 t/m 0,9 daarna 0,01 t/m 0,91 dan 0,02 t.m 0,92 enzovoort tot en met 0,09 t/m 0,99. Daarna beginnen we aan de getallen met  drie relevante cijfers (0,001 t.m 0,901 dan 0,002 t/m 0,902 enz.). Bij elke cijfer dat we invullen bij het construeren van Cantor’s getal “dat niet in de lijst voorkomt”, breiden we onze lijst uit met de getallen met het corresponderende aantal relevante cijfers achter de komma. We hebben dus doorlopend te maken met een eindige lijst en een eindige constructie, zodat we kunnen zien wat we aan het doen zijn. Maar  we kunnen uitstekend voorspellen wat er verderop – als de getallen onmeetbaar groot worden – zal gebeuren.
 
De oplossing die we construeren met Cantor “diagonale” methode begint dus met 0,2  (ongelijk aan 0,1) dan 0,21 (ongelijk aan 0,20) dan 0,211 (ongelijk aan 0,300), maar het is tevens duidelijk dat het getal – zoals dat tot op dat moment is geconstrueerd wel degelijk voorkomt in de lijst, en wel in het deel wat hetzelfde aantal relevante cijfers bevat als de constructie tot op dat moment. Hoeveel cijfers men ook gebruikt, dit verandert nooit. Ergo het gecontrueerde getal staat ten alle tijd op de lijst! Daar we het einde van de lijst nooit zullen bereiken (ze kent immers geen einde), betekent dat dus dat we nooit een getal zullen aantreffen dat niet op de lijst staat. Het is tevens overduidelijk dat de lijst die we aan het  vormeren zijn precies even lang is als de lijst van natuurlijke  getallen, want als men de cijfers van deze komma-getallen – in deze volgorde - spiegelt  ten opzichte van de komma, krijgt men gewoon de natuurlijke getallen!
 
Is er de afgelopen 100 jaar nu echt geen enkele wiskundige geweest, die dit heeft ingezien? Ik kan het me niet voorstellen.
 
 
De werkelijkheid is een theorie die overeenstemt met de waarnemingen

Gebruikersavatar
Berichten: 4.282

Re: Cantors

Onze eigen onvolprezen beroemde Brouwer verwierp dit verhaal zij het op andere gronden dan jij.
 
In zijn intuïtieve is geen plaats voor dit verhaal.
 
PS.
 
Brouwer verwierp ook dit:
 
Niet( niet waar) = waar.
 
==================
 
Waar je de mist in gaat is dat je regels van eindige hoeveelheden ook toepast op oneindige hoeveelheden.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Cantors

Er zijn wel meer mensen die het diagonaalargument niet begrijpen. Het internet staat er vol mee. Meestal berust dat op denkfouten bij de critici. De enige kritiek die wel (enig) hout snijdt verwerpt het werken in de wiskunde met oneindige objecten. Men kan er met het oog op de paradoxen van het oneindige voor kiezen enkel nog met eindig definieerbare wiskundige objecten te werken, en dat leidt dan bij consequente toepassing tot een vorm van constructivistische wiskunde. Echter zijn er geen dwingende argumenten om die constructivistische weg te volgen, want als je zorgvuldig redeneert kun je ook met oneindige objecten in de wiskunde probleemloos werken. Zolang er geen harde bewijzen zijn dat oneindige objecten noodzakelijkerwijs tot tegenstrijdigheden leiden, kiezen de meeste wiskundigen ervoor om dergelijke objecten als legitiem binnen de wiskunde toe te laten.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Cantors

Om te beginnen is vrijwel de helft van de natuurlijke getallen even en de helft oneven. Desalniettemin beweert de docent dat er evenveel  even getallen zijn als natuurlijke  getallen. Maar als dat zo is dan zouden er geen oneven getallen zijn.
Bekijk eens de volgende 2 rijen natuurlijke getallen: 
1 2 3 4 ...n...
2 4 6 8...2·n...
 
De eerste rij is de gewone rij van de natuurlijke getallen. De tweede rij ontstaat uit de eerste door het dubbele van ieder getal uit de eerste rij te nemen. Merk op dat aan ieder getal uit de ene rij precies 1 getal uit de andere rij kan worden toegevoegd, Dit betekent dat er aan ieder natuurlijk getal  precies 1 getal (namelijk zijn 2-voud) kan worden toegevoegd. Dit betekent dat de verzameling even getallen die we zo hebben verkregen evenveel elementen bevat als de verzameling natuurlijke getallen. Omdat de verzameling even getallen een deelverzameling van de natuurlijke getallen is zien we dus dat deze verzameling aftelbaar is omdat ze in een 1-op-1 relatie met de natuurlijke getallen te brengen is. Dit geeft dus een voorwaarde voor het al of niet aftelbaar zijn van een verzameling.
 
De denkfout is uiteraard, dat men “oneindig” voor een getal aanziet.
Nee, dat doet "men" helemaal niet. Er zijn in feite 2 soorten oneindigheid: een potentiële, waarbij je het oneindige vormt door bijvoorbeeld de natuurlijke getallen stuk voor stuk af te tellen, en een actuele oneindigheid, waarbij je bijvoorbeeld een verzameling met een oneindig aantal elementen als de verzameling natuurlijke getallen als een vaststaande (voltooide) oneindigheid beschouwt. Aristoteles veronderstelde dat er alleen potentiële oneindigheden kunnen bestaan, totdat Cantor eind 19e eeuw het tegendeel bewees door zijn ideeën over transfiniete verzamelingen en ordinaalgetallen.
 
Dan nu een bewijs van de overaftelbaarheid van de reële getallen, uitgaande van de reële getallen tussen 0 en 1. Laat deze reële getallen de rij a1, a2, a3,...an... vormen en veronderstel dat er een 1-op-1 relatie met de natuurlijke getallen te vormen is aan de hand van de gegeven rij. Laat aik de k-de decimaal van het getal ai zijn en laat nu aiimet het i-de natuurlijke getal corresponderen. Omdat aiide i-de decimaal van het getal ai is correspondeert ieder getal aidus ook met het i-de natuurlijke getal. Construeer nu een reëel getal tussen 0 en 1 door aii door aii+1 te vervangen als aii ongelijk aan 9 is en door aii door 0 te vervangen als aii gelijk aan 9 is. We hebben nu een reëel getal tussen 0 en 1 geconstrueerd waarbij de i-de decimaal niet meer met het i-de natuurlijke getal correspondeert. Er is dus geen 1-op-1 relatie met de natuurlijke getallen te vormen, wat in tegenspraak is met onze veronderstelling. Dit betekent dus dat de verzameling van de reële getallen overaftelbaar is, wat te bewijzen was.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Gebruikersavatar
Berichten: 52

Re: Cantors

mathfreak schreef op 11 Dec 2016 - 01:02:
Bekijk eens de volgende 2 rijen natuurlijke getallen: 
1 2 3 4 ...n...
2 4 6 8...2·n...
 
De eerste rij is de gewone rij van de natuurlijke getallen. De tweede rij ontstaat uit de eerste door het dubbele van ieder getal uit de eerste rij te nemen. Merk op dat aan ieder getal uit de ene rij precies 1 getal uit de andere rij kan worden toegevoegd, Dit betekent dat er aan ieder natuurlijk getal  precies 1 getal (namelijk zijn 2-voud) kan worden toegevoegd. Dit betekent dat de verzameling even getallen die we zo hebben verkregen evenveel elementen bevat als de verzameling natuurlijke getallen.
[einde citaat]
 
Onzin, de categorie natuurlijke getallen bestaat uit twee sub-categoriën, de even getallen en de oneven getallen. Als de gehele categorie evenveel elementen zou bevatten als de sub-categorie, dan zou de andere sub-categorie leeg moeten zijn. Dat is ze evident niet. Voor elke continue reeks natuurlijke getallen  beginnend bij 1 en eindigend bij een even getal Ω geldt dat er er Ω/2 oneven getallen zijn en Ω/2 oneven getallen; hoe groot Ω ook wordt. Het is een magische illusie te denken dat dit op enige plek in de reeks ophoudt met waar te zijn. Deze veronderstelling wordt alleen gevoed door “oneindig”- bewust of onbewust – te beschouwen als een getal. Maar dat is het niet! Oneindig betekent dat er geen einde aan komt. Als er geen einde aan komt, komt er ook geen einde aan het feit dat er tweemaal zoveel natuurlijke getallen zijn als even getallen.
 
 
mathfreak schreef verder:
 
Dan nu een bewijs van de overaftelbaarheid van de reële getallen, uitgaande van de reële getallen tussen 0 en 1. Laat deze reële getallen de rij a1, a2, a3,...an... vormen en veronderstel dat er een 1-op-1 relatie met de natuurlijke getallen te vormen is aan de hand van de gegeven rij. Laat aik de k-de decimaal van het getal ai zijn en laat nu aii met het i-de natuurlijke getal corresponderen. Omdat aii de i-de decimaal van het getal ai is correspondeert ieder getal adus ook met het i-de natuurlijke getal. Construeer nu een reëel getal tussen 0 en 1 door aii door aii+1 te vervangen als aii ongelijk aan 9 is en door aii door 0 te vervangen als aii gelijk aan 9 is. We hebben nu een reëel getal tussen 0 en 1 geconstrueerd waarbij de i-de decimaal niet meer met het i-de natuurlijke getal correspondeert. Er is dus geen 1-op-1 relatie met de natuurlijke getallen te vormen, wat in tegenspraak is met onze veronderstelling. Dit betekent dus dat de verzameling van de reële getallen overaftelbaar is, wat te bewijzen was.
[einde citaat]
 
Ik heb notabene bewezen, dat de rij van decimalen tussen 0 en 1, volledig correspondeert met de rij van natuurlijke getallen, en jij negeert dit volledig. Het getal dat jij “zogenaamd” hebt geconstrueerd correspondeert volledig met een van getallen uit de rij, Uiteraard niet met het i-de getal en zelfs niet met een van de getallen tussen1 en i. maar wel met een getal dat bestaat uit 0, gevolgd door de cijfers van een der natuurlijke getallen tussen10i-1-1 en 10i-1.
 
Nogmaals, ik plaats de getallen in een dusdanige volgorde dat elk getal het spiegelbeeld is (ten opzichte van de komma) van het natuurlijk getal, dat de volgorde aangeeft. Ik geef nogmaals de eerste 99 getallen (in drie decimalen waarvan ik er overigens maar 2 nodig heb).
 
          0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900
0,010 0,110 0,210 0,310 0,410 0,510 0,610 0,710 0,810 0,910
0,020 0,120 0,220 0,320 0,420 0,520 0,620 0,720 0,820 0,920
0,030 0,130 0,230 0,330 0,430 0,530 0,630 0,730 0,830 0,930
0,040 0,140 0,240 0,340 0,440 0.540 0,640 0,740 0,840 0,940
0,050 0,150 0,250 0,350 0.450 0,550 0,650 0,750 0,850 0.950
0,060 0,160 0,260 0,360 0,460 0,560 0,660 0,760 0,860 0,960
0,070 0,170 0,270 0,370 0,470 0,570 0,670 0,770 0,870 0,970
0,080 0,180 0,280 0,380 0,480 0,580 0,680 0,780 0,880 0,980
0,090 0,190 0,290 0,390 0,490 0,590 0,690 0,790 0,890 0,990
 
Jij vervangt de eerste decimaal door een 2 en de tweede door een 1 maar 0,210 komt wel degelijk voor in deze rij getallen. (het is uiteraard het 12e getal). Om te bewijzen dat 0,211 ook voorkomt hoef je alleen maar de lijst te completeren met de volgende 900 getallen waarvan de achterloopnullen pas in de 4e positie beginnen. Het is uiteraard het 112e getal. 0,2111 komt op de 1112e plaats. Niet alleen komt het getal voor in de lijst, ik kan precies voorspellen op welke plaats het staat! Je kunt dit spelletje eindeloos herhalen en altijd zal er een getal blijken te zijn dat met je constructie – tot op dat moment – overeen komt. Aangezien de regels van dit spelletje niet veranderen, ontstaat er op geen enkel moment een  getal dat niet in de lijst voorkomt. En de lijst is zelfs zodanig in overeenstemming met de lijst van natuurlijke getallen dat je de plaats in de rij direct kunt afleiden uit het getal tot op dat moment. Je “bewijs” is uitsluitend gebaseerd op de belachelijke veronderstelling dat de lijst – als het aantal cijfers naar oneindig gaat - even veel rijen bevat als de laatste rij cijfers bevat, en dat is absoluut niet waar. Als je bij cijfer Ω bent zijn er in principe 10-1 rijen, en je getal staat in rij 11111... (Ω-2 enen)...2. Wederom berust de vergissing volledig op het (bewust of onbewust) beschouwen van “oneindig” als een getal.
 
In tegenstelling tot wat Cantor dacht, heeft hij niet aangetoond dat decimale getallen tussen 0 en 1 talrijker zijn dan natuurlijke getallen, hij heeft slechts de consequentie aangetoond van het feit dat er veel meer getallen kunnen worden geformeerd bij het gebruik van arabische cijfers, dan het aantal cijfers dat je er voor gebruikt. Maar dat wisten we al. . .
 
Door mijn volgorde-systeem heb ik overduidelijk aangetoond dat deze getallen één op één corresponderen met een natuurlijk getal. Wie desondanks beweert dat dit niet zo is, denkt niet logisch (of liegt, maar ik neem aan dat dát niet het geval is ).
 
Het verschil tussen mijn benadering en die van Cantor is, dat ik niet met geheimzinnige cijfers werk zoals 0,136051865567049742..., en niet met een niet bestaande diagonaal in een niet bestaand vierkant maar met een zinvolle volgorde, waar elk getal volledig kan worden uitgeschreven en in overeenstemming is met zijn plaats in de lijst.  Ook is mijn lijst van het begin af aan  langer dan breed, en wordt deze langgerekte vorm  naarmate we meer cijfers in beschouwing nemen alleen maar langgerekter. Wellicht is het juist door mijn gebrekkige wiskunde, dat ik concreet laat zien wat er aan de hand is (omdat ik het abstract niet kan bevatten). Dit leidt tot de concrete conclusie dat elke decimaal getal tussen 0 en 1, gekoppeld kan worden aan een uniek natuurlijk getal, waarvan de cijfers het spiegelbeeld zijn van de cijfers achter de komma van het decimale getal.
 
Het is niet logisch, te denken, dat – wanneer er bij elke stap kan worden aangetoond welk natuurlijk getal overeen stemt met het getal dat geconstrueerd wordt - dat er een magisch punt is in het oneindige waarbij dit ophoudt waar te zijn. Noodzakelijkerwijs moet dit altijd waar blijven, want er komt geen einde aan de stappen. Je “uiteindelijke” getal (dat is er niet , want er komt nooit een einde, maar allá), wordt zoiets als 0,211111111111111111... Waarbij voor de verandering de betekenis van ... enigzins duidelijk is: een eindeloze rij enen. Het correspondeert met het natuurlijke getal ...111111111111111112. (raar gezicht he? die drie puntjes vooraan).
 
Voor het geval je nog mocht twijfelen, moet je Cantors “diagonale”argument eens spiegelbeeldig toepassen op de lijst van natuurlijke getallen. Ook hier begin je bij 1 (en dus vervang je die door een 2), en ga je vervolgens een  rij naar beneden en nu een cijfer naar links. Je zult daar altijd een 0 aantreffen, en komt dus tot precies dezelfde “plaats” in de rij: ...111111111111111112.
De werkelijkheid is een theorie die overeenstemt met de waarnemingen

Berichten: 703

Re: Cantors

Stel ik heb een functie die een natuurlijk getal pakt, en daar iets mee doet om een andere (unieke) waarde te vinden, bijvoorbeeld: f(x)=e^x. Ik krijg dan evenveel uitkomsten van f(x) als dat er waarden voor x zijn, ben je het daar mee eens?

Gebruikersavatar
Berichten: 4.282

Re: Cantors

 
Onzin, de categorie natuurlijke getallen bestaat uit twee sub-categoriën, de even getallen en de oneven getallen. Als de gehele categorie evenveel elementen zou bevatten als de sub-categorie, dan zou de andere sub-categorie leeg moeten zijn. Dat is ze evident niet. Voor elke continue reeks natuurlijke getallen  beginnend bij 1 en eindigend bij een even getal Ω geldt dat er er Ω/2 oneven getallen zijn en Ω/2 oneven getallen; hoe groot Ω ook wordt. Het is een magische illusie te denken dat dit op enige plek in de reeks ophoudt met waar te zijn. Deze veronderstelling wordt alleen gevoed door “oneindig”- bewust of onbewust – te beschouwen als een getal. Maar dat is het niet! Oneindig betekent dat er geen einde aan komt. Als er geen einde aan komt, komt er ook geen einde aan het feit dat er tweemaal zoveel natuurlijke getallen zijn als even getallen.
 
 
Hier ga je al gelijk de de mist in.
 
Je past weer regels voor eindige verzamelingen toe op oneindige.
Doen je dat dan zal bijna altijd de conclusie onjuist zijn.
 
Per def is:
Een oneindige hoeveelheid is een hoeveelheid die niet van grootte verandert als er een eindig hoeveelheid aan wordt toegevoegd of af genomen.
 
Wat laat zien dat je idee van een oneindige verzameling verkeerd is.
 
--------------
 
Jouw idee is (van er komt geen einde aan) is het idee dat je er langs kunt lopen, wat zeker niet zo behoeft te zijn.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Cantors

Het vergelijken van de grootte van oneindige verzamelingen is géén vanzelfsprekende zaak. In ieder geval is het onjuist er voetstoots vanuit te gaan dat voor oneindige verzamelingen dezelfde regels moeten gelden als voor eindige verzamelingen. De paradoxen van het oneindige bewijzen dat men dan tot onzinnige conclusies geraakt.
 
Hoe de "grootten" van oneindige verzamelingen dan wel moet moet worden vergeleken is dus niet vanzelfsprekend. Er zijn in de loop van de tijd voor dit probleem meerdere oplossingen (met bijpassende definities en theorieën) gevonden waarbij de gelijkmachtigheid het bekendste is. Die aanpak leidt noodzakelijkerwijs tot de conclusie dat er precies "net zo veel" even getallen als natuurlijke getallen zijn. Er zijn ook andere definities waarbij er (bijna) twee keer zoveel natuurlijke getallen als even getallen zijn. Het is maar net van welke definitie je uit gaat.
 
Dat het domweg verordineren (zoals Peter van Velzen doet) dat er twee keer zoveel natuurlijke getallen als even getallen zijn het intuïtieve probleem echter niet oplost kun je aldus inzien:
 
Beschouw een vaas met door de natuurlijke getallen genummerde balletjes zodanig dat er voor ieder natuurlijk getal precies één balletje is waarop dat getal staat. Nu is het intuïtief gesproken duidelijk dat het veranderen van de getallen op de balletjes voor "het aantal" balletjes in de vaas niet uitmaakt. Dus zouden we zonder problemen de getallen op de balletjes door het dubbele getal mogen vervangen. Goed - dat doen we dan. De conclusie is dan dat een vaas met balletjes waarop precies de even getallen staan exact net zoveel (want juist dezelfde) balletjes kan bevatten als een vaas met balletjes waarop precies de natuurlijke getallen staan.
 
Je moet daarom in de wiskunde voor heldere definities kiezen en op grond daarvan kan je een theorie van oneindige verzamelingen opbouwen. Met intuïtieve beschouwingen (alleen) kom je er niet.

Gebruikersavatar
Berichten: 52

Re: Cantors

Emveedee schreef: Stel ik heb een functie die een natuurlijk getal pakt, en daar iets mee doet om een andere (unieke) waarde te vinden, bijvoorbeeld: f(x)=e^x. Ik krijg dan evenveel uitkomsten van f(x) als dat er waarden voor x zijn, ben je het daar mee eens?
Nogal hypothetisch. Ik denk liever aan iets concreets. Vandaar dat ik in mijn voorstel voor de volgorde van de decimalen tussen 0 en 1 er een bedacht heb, die één op één overeen komt met de natuurlijke getallen, in oplopende volgorde. (Ze vormen het spiegelbeeld ervan), maar ik vermoed dat ik het er wel mee eens zal kunnen zijn.
De werkelijkheid is een theorie die overeenstemt met de waarnemingen

Gebruikersavatar
Berichten: 52

Re: Cantors

tempelier schreef:  
 
Hier ga je al gelijk de de mist in.
 
Je past weer regels voor eindige verzamelingen toe op oneindige.
Doen je dat dan zal bijna altijd de conclusie onjuist zijn.
 
Per def is:
Een oneindige hoeveelheid is een hoeveelheid die niet van grootte verandert als er een eindig hoeveelheid aan wordt toegevoegd of af genomen.
 
Wat laat zien dat je idee van een oneindige verzameling verkeerd is.
 
--------------
 
Jouw idee is (van er komt geen einde aan) is het idee dat je er langs kunt lopen, wat zeker niet zo behoeft te zijn.
einde citaat
 
 
Eerder is het andersom! Ik spreek overigens niet van verzamelingen maar van categoriën. Er bestaan namelijk geen oneindige verzamelingen. Er is alleen een  eindige verzameling mogelijk tijdens het uitvoeren van een niet eindig algoritme. Elke zo opgebouwde verzameling van natuurlijke getallen bevat voor de helft (+1) oneven getallen en voor de helft (-1) even getallen. Wie denkt dat een oneindige verzameling mogelijk is, Die gaat de mist in!
 
Er bestaan geen algoritmes zonder einde waar je NIET langs kunt lopen!
Maar mocht je me een voorbeeld kunnen geven, dan ben ik best bereid mijjn mening te herzien!
 
 
Professor puntje
Ook op uw bijdrage is mijn reactie: Er bestaan geen oneindige verzamelingen. Ook uw vaas met balletjes is een eindige verzameling. Inderdaad als je de getallen op de balletjes in de vaas vervangt door even getallen, verandert dat niets aan het aantal balletjes in de vaas, Maar dat aantal is nu nog maar de helft van het grootste getal dat er in voorkomt. Dat is altijd zo, ongeacht de groote van dat getal. Ik vergelijk geen balletjes in een  vaas, maar beweer slechts dat elke continue serie natuurlijke getallen slechts voor de helft (±1) uit even getallen bestaat. Hoe groot het aantal ook wordt. De veronderstelling dat er "Oneindige"verzamelingen  zouden bestaan waarvoor dit niet zo zou zijn is in strijd met de definitie van oneindig. Dat is namelijk "zonder einde". Ook aan het feit dat de helft van een continue verzameling natuurlijke getallen (±1) uit even getallen bestaat. komt immers geen einde. In tegendeel: de kleine afwijking (±1) wordt naarmate de verzameling groter wordt steeds onbeduidender.
De werkelijkheid is een theorie die overeenstemt met de waarnemingen

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: Cantors

Peter van Velzen schreef:  
Eerder is het andersom! Ik spreek overigens niet van verzamelingen maar van categoriën. Er bestaan namelijk geen oneindige verzamelingen. Er is alleen een  eindige verzameling mogelijk tijdens het uitvoeren van een niet eindig algoritme. Elke zo opgebouwde verzameling van natuurlijke getallen bevat voor de helft (+1) oneven getallen en voor de helft (-1) even getallen. Wie denkt dat een oneindige verzameling mogelijk is, Die gaat de mist in!
 
Je bent nu gewoon doodleuk je eigen definities aan het verzinnen voor begrippen als 'verzameling' en 'categorie'. Op die manier heeft het geen enkele zin om met jou in discussie te gaan.
 
Als ik mijn eigen definitie van het begrip 'plat' verzin, dan kan ik ook wel bewijzen dat de aarde plat is. Dat is flauw, maar dat is in feite precies wat jij hier aan het doen bent.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

Berichten: 703

Re: Cantors

Peter van Velzen schreef: Nogal hypothetisch. Ik denk liever aan iets concreets. Vandaar dat ik in mijn voorstel voor de volgorde van de decimalen tussen 0 en 1 er een bedacht heb, die één op één overeen komt met de natuurlijke getallen, in oplopende volgorde. (Ze vormen het spiegelbeeld ervan), maar ik vermoed dat ik het er wel mee eens zal kunnen zijn.
 
Het zit hem er net in dat ook al zijn er een oneindig aantal waarden voor x, je toch altijd evenveel uitkomsten vindt. Als je nu bijvoorbeeld f(x) = 2x zou kiezen, dan zie je dus dat er evenveel even getallen moeten zijn als natuurlijke getallen.
 
Sterker nog, je kunt ook f(x) = 10x, of 20x, of 100000000000x kiezen. Juist omdat de verzameling oneindig groot is zijn het er allemaal evenveel. Bij een eindige verzameling gaat deze truc natuurlijk niet op.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.282

Re: Cantors

Math-E-Mad-X schreef:  
Je bent nu gewoon doodleuk je eigen definities aan het verzinnen voor begrippen als 'verzameling' en 'categorie'. Op die manier heeft het geen enkele zin om met jou in discussie te gaan.
 
Als ik mijn eigen definitie van het begrip 'plat' verzin, dan kan ik ook wel bewijzen dat de aarde plat is. Dat is flauw, maar dat is in feite precies wat jij hier aan het doen bent.
Daar ga ik in mee.
 
Daarbij heb ik de indruk dat voor hem een getal pas bestaat als het door een mens wordt ""geconstrueerd"".
Dat is niet het getal begrip van de formele wiskunde.
Zijn benadering lijkt me meer iets voor filosofie.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Cantors

Het probleem is niet zo zeer dat Peter van Velzen zijn eigen definities verzint, maar dat hij dat op een chaotische en onlogische manier doet. Als hij op een ordentelijke en consequente manier te werk zou gaan zou hij op een vorm van finitisme uitkomen:
 
https://en.wikipedia.org/wiki/Finitism
 
Dat zal hem echter niet lukken zolang hij zich niet eerst een minimum aan basale wiskunde en logica eigen maakt. En voor dat laatste moet hij eerst nog over de schaduw van zijn eigen betweterij heen stappen. Hij heeft dus nog een lange maar interessante weg te gaan. Aan hem de keus om dat wel of niet te doen. Blijft hij echter hangen in de aangename illusie dat hij het zelf nu al beter weet dan alle mainstream wiskundigen bij elkaar, dan wordt het niets en is verdere discussie inderdaad zinloos.

Gebruikersavatar
Berichten: 52

Re: Cantors

Math-E-Mad-X schreef:  
Je bent nu gewoon doodleuk je eigen definities aan het verzinnen voor begrippen als 'verzameling' en 'categorie'. Op die manier heeft het geen enkele zin om met jou in discussie te gaan.
 
Als ik mijn eigen definitie van het begrip 'plat' verzin, dan kan ik ook wel bewijzen dat de aarde plat is. Dat is flauw, maar dat is in feite precies wat jij hier aan het doen bent.
Einde citaat
 
 
Sorry , ik ben geen wiskundige. Ik ben slechts in staat tot logisch denken. Dat wil zeggen dat ik de betekenis van de woorden volg. Een verzameling is iets dat je verzamelt. Alhoewel je altijd door kunt gaan met verzamelen, bevat je verzameling op elk moment een eindig aantal items. Een categorie is een benaming voor een groot aantal zaken. Ze bevat derhalve bij voorbaat al alles wat aan de definitie voldoet. Bijvoorbeeld alle natuurlijke getallen. Je hoeft de zaken die in die categorie vallen, niet eerst te verzamelen. 
 
Het gebruik van normale betekenissen van woorden is hier blijkbaar verboden. Dat is erg jammer, want dan verstaat een normaal mens geen woord van wat er gezegd wordt. Ik kwam in de reacties op dit onderwerp al een - in mijn ogen - bedenkelijke definitie tegen. die speciaal lijkt te zijn bedoeld om een zinvolle discussie uit te sluiten.
 
“Een oneindige hoeveelheid is een hoeveelheid die niet van grootte verandert als er een eindig hoeveelheid aan wordt toegevoegd of af genomen.”
 
Dat is een leuke bewering, maar dat veronderstelt dat een dergelijke hoeveelheid bestaat. En dat is iets dat volgens mij nog nooit bewezen is. Oneindig betekent taalkundig heel wat anders: Het is iets waar geen einde aan komt. In plaats van deze woordbetekenis te volgen introduceert men op bovenstaande manier “oneindig” als getal (wat is een getal anders dan een hoeveelheid?), maar verordonneert tevens dat dit getal niet aan de normale rekenregels mag voldoen. In mijn ogen is dat volstrekt onlogisch. Wie heeft er nu behoefte aan een getal waarvoor de normale rekenregels niet gelden?
 
Het is bijzonder frusterend, dat terwijl ik mijn uiterste best doe logisch en concreet te zijn,  mijn bijdragen chaotisch en onlogisch worden genoemd, zonder dat men op enigerlei wijze aantoont dat mijn beweringen niet kloppen. Zo maakt men wel heel gemakkelijk gehakt van een nieuweling!
 
 
Het voorbeeld van professor puntje met de vaas met balletjes is een treffend voorbeeld van wat wel logisch en concreet is. Dus ik zal trachten daarop voort te borduren en  - ondanks de onvriendelijke manier waarop men mij hier aan de kant meent te moeten zetten – trachten duidelijk te maken hoe ik redeneer.
 
De vaas bevat een eindige hoeveelheid balletjes voorzien van een oplopend nummer van 1 tot Ω waarbij Ω gelijk is aan het aantal balletjes in de vaas. Wanneer men elk nummer vervolgens vermenigvuldigt met 2, krijgt men Ω even getallen, waarbij het grootste gelijk is aan  2Ω. Tot zover geen probleem. Ik merk echter op dat daarmee het aantal even getallen van 1 tot 2Ω daarnee nog niet gelijk wordt aan 2Ω. Dat aantal is slechts gelijk aan Ω.
 
Het is verder volstrekt waar dat men niet alles wat men met een eindige reeks kan doen, ook met een oneindige reeks kan doen. Dit wordt direct duidelijk indien met tracht om ALLE natuurlijke getallen met 2 te vermenigvuldigen. Dit is in de praktijk onmogelijk, omdat men een dergelijke operatie nooit kan voltooien. Zij is immers per definitie oneindig, dus er komt nooit een einde aan. Men kan wel aan een dergelijke taak beginnen, maar men kan hem nooit voltooien.
 
Degenen die mij ervan “beschuldigen” chaotisch en onlogisch te zijn, beweren echter doodleuk dat zoiets wel degelijk mogelijk zou zijn en denken – net als Hilbert in zijn beroemde “hotel oneindigheid” sprookje – dat je dat wel degelijk zou kunnen  doen. Maar veronderstel nu eens dat je dat gedaan hebt. Dan zou het laatste getal wat je met 2 hebt vermenigvuldigd, veranderd zijn in een getal dat tweemaal zo groot is. Met andere woorden: Er zijn ineens tweemaal zoveel  natuurlijke getallen als voorheen. Dat is een tegenstrijdigheid, en derhalve stel ik, dat dit niet kan. De premisse dat met een oneindige reeks in zijn geheel met twee kan vermenigvuldigen is dus onjuist. Een bewijs uit het ongerijmde. En let wel, de copout dat een oneindige hoeveelheid niet van grootte verandert als er een eindige hoeveelheid aan wordt toegevoegd of af genomen, gaat hier niet op. Er wordt geen eindige hoeveelheid toegevoegd, doch een oneindige hoeveelheid!
 
 
Ik vindt het verder buitengewoon opvallend, dat men zich vooral stort op mijn onschuldige bewering, dat er tweemaal zoveel natuurlijke getallen zijn als even getallen. (want er zijn evenveel oneven getallen als even getallen en de natuurlijke getallen bestaan uit alle even én oneven getallen ) Met uitzondering van Mathfreek heeft niemand zich nog gewaagd aan mijn weerlegging van Cantor’s “diagonale” methode. Cantor’s redenatie is in feite ook een bewijs uit het ongerijmde, maar Cantor verwerpt op grond ervan de verkeerde premisse. Hij verwerpt de premisse dat de natuurlijke getalen één op één gekoppeld kunnen worden aan de decimale getallen tussen 0 en 1.
 
Ik heb mijns inziens – met behulp van mij speciale sortering overduidelijk bewezen, dat ze wél één op één gekoppeld kunnen worden, en wel op zodanige wijze dat het ene getal direct kan worden afgeleid uit het andere (men moet ze alleen spiegelen). Derhalve moet een andere premisse worden verworpen die Cantor in zijn redenatie heeft gebruikt. Dat zou de premisse kunnen zijn, dat je een oneindige reeks cijfers kunt doorlopen en op grond daarvan een getal kunt samenstellen dat afwijkt van elk ander getal uit de reeks. We kunnen wederom op dezelfde manier redeneren als bij professor puntjes vaas. Je kunt dit wel doen voor een eindige reeks, maar het is evident uit het simpelste voorbeeld. (de reeks van 0,1 tot 0,9) dat dit volstrekt niet werkt. Men krijgt als uitkomst 0,2 en dat getal bevindt zich overduidelijk wél in de reeks.
 
Nu is het zo, dat je met oneindige reeksen niet alles kunt doen wat je met eindige reeksen kunt doen, maar het is daarom nog niet zo dat je met oneindige reeksen iets kan doen wat je met een eindige reeks níét kan. Desalniettemin spiegelt Cantor ons voor dat je deze methode tot en met het laatste cijfer zou kunnen komen. Wij weten uiteraard dat dit nooit kan. Je kunt er wel aan beginnen, maar je kunt deze taak nooit voltooien, vanwege het feit dat er nu eenmaal geen einde aan komt. Maar wederom: Stel dat het wel mogelijk zou zijn. We zijn aan het laatste getal gekomen. (ook in mijn volgorde wordt dat een oneindige reeks negens). Maar we moeten tot de conclusie komen, dat – hoewel we aan het laatste cijfer zijn gekomen we desalniettemin toch niet klaar zijn. Met het aantal cijfers dat we hebben doorlopen (Ω=999999999999999999...) kunnen  namelijk liefst 10getallen worden gevormd. Ergo we hebben nog lang niet het laatste getal bereikt. De premisse is fout. Maar let op, in mijn redenatie heb ik helemaal niet de premisse gebruikt, die door Cantor wordt verworpen! Als een premisse niet nodig is om een bewijs uit het ongerijmde te construeren, dan betekent dat dus, dat een andere premisse – die wel gebruikt is – niet waar is.
 
 
Mag ik jullie vragen, bij welke stap ik een aanname heb gedaan die niet klopt, dan wel die niet uit de gebruikte argumenten volgt? Specifieke kritiek is zinvoller dan het gebruik van dooddoeners als “chaotisch” of “onlogisch”, zonder aan te geven waar de chaos, dan wel de onlogica uit bestaat. Zulke dooddoeners doen vermoeden, dat jullie geen echte argumenten hebben om mij mee tegen te spreken.
 
 
Eigenaardig genoeg ontwaar ik nu een soortgelijke houding in de respondenten als Cantor in zijn tijd ontving. Ook toen werd niet uitgelegd waar de fout zat in zijn redenering, maar werden slechts een serie ad-hominems naar zijn – toch al geplaagde – hoofd geworpen. Gelukkig heb ik – in tegenstelling tot Cantor – weinig aanleg voor depressiviteit, en voel me daarom niet gekwetst. Hoogstens bedroefd, vanwege het gebrek aan logische argumenten dat ik ben tegengekomen om mijn twee stellingen mee te weerleggen. Ik had van mensen die in Wiskunde geinteresseerd zijn, toch beter verwacht. Ik had uit Cantor’s geschiedenis kunnen weten, dat dit niet het geval zou zijn, maar ik ben nu eenmaal een geboren optimist.
De werkelijkheid is een theorie die overeenstemt met de waarnemingen

Reageer