Wetenschapsforum

x⁴+ 4x³+ 8x² + 8x +4 = (x² + 2x + 2)²
 
Ik zie niet hoe je aan deze ontbinding komt. Kan iemand mij helpen?

Geen gemakkelijke vraag, waar komt de opgave vandaan? Welke voorkennis wordt verondersteld?
Is het wel duidelijk dat de bewering klopt?
Merk op dat de coëfficiënten allemaal machten van 2 zijn,

De opgave komt uit een ingenieurscursus wiskunde. Alle kennis mag gebruikt worden. Normaal gezien zou de bewering moeten kloppen. Als ik voor x een willekeurig getal neem, klopt het alvast.

Boom schreef: Als ik voor x een willekeurig getal neem, klopt het alvast.

 
Je kan natuurlijk het kwadraat uitwerken. 
 
Verder kan je het volgende controleren:
Er zijn 5 termen, 2 daarvan zijn kwadraten (in principe zijn er 6)
a. De term met de hoogste macht is een kwadraat.
b. De constante term is een kwadraat.

Ik zie dat het dalende machten van x zijn, dat de coëfficiënten allemaal machten van 2 zijn en er zitten 2 kwadraten in. Maar wat ben ik hiermee? Bestaat er een speciale regel om vergelijkingen van deze vorm te ontbinden?

Wat je in ieder geval kunt proberen is x⁴+ 4x³+ 8x² + 8x +4 = (x²+ax+b)(x²+cx+d) te stellen.

Door (x² + 2x + 2)²  te schrijven als (x² + 2x + 2)(x² + 2x + 2) kom je op het juiste antwoord.
Je doet steeds een van de factoren van het eerste 'blokje' maal een van de factoren van het tweede 'blokje'.
Zo komt het er dan uit te zien:
x² maal x² = x⁴
x² maal 2x =2x³
x² maal 2 = 2x²
 
2x maal x² = 2x³
2x maal 2x = 4x²
2x maal 2 = 4x
 
2 maal x² = 2x²
2 maal 2x = 4x
2 maal 2 = 4
 
Wanneer je dan al die uitkomsten bij elkaar optelt kom je op  x⁴ + 4x³ + 8x² + 8x +4

Als opgave is de som gegeven. En deze moet ontbonden worden. Dus het product uitwerken is in de verkeerde richting.

Ben je nu verder geraakt?

Er is al opgemerkt dat x⁴ en 4 beiden kwadraten zijn. Stel dat je op het idee komt dat (x²+2)  een ontbindende factor zou kunnen zijn.
Zou je dan een staartdeling kunnen toepassen, en dan wellicht iets verder komen?

Daar de vorm niet als te moeilijk is zou ik gewoon uitproberen welke eenvoudige mogelijkheden er zijn.
 

mathfreak schreef: Wat je in ieder geval kunt proberen is x⁴+ 4x³+ 8x² + 8x +4 = (x²+ax+b)(x²+cx+d) te stellen.

Dat kan.
 
Maar bedenk dat wil de ontbinding ""mooi"" zijn er moet gelden: bd=+4
 
Dat geeft maar vier mogelijkheden, die vrij snel kunnen worden uitgeprobeerd.