Springen naar inhoud

[Wiskunde] stoelen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

LJS

    LJS


  • 0 - 25 berichten
  • 3 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 23 januari 2006 - 22:12

Ha Jongens/Meisjes


In een kamer staan vijf stoelen waarop vijf kinderen zitten. Alle kinderen
staan op en gaan op een andere stoel zitten dan waarop zij zaten.
Op hoeveel manieren kunnen ze nu zijn gaan zitten?

wie kan mij aub helpen met dit probleem?
BVD

LJS

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

rensd

    rensd


  • 0 - 25 berichten
  • 3 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 23 januari 2006 - 22:54

Op het eerste gezicht zou je zeggen: 5*4*3*2*1, oftewel 5!. Maar omdat de kinderen niet op dezelfde stoel mogen gaan zitten, mag de eerste die op een stoel gaat zitten nog maar op 4 stoelen zitten. En de tweede mag op 4 stoelen gaan zitten, als de eerste gaat zitten op de stoel waarop de tweede eerst zat, anders maar op 3. Oei, is toch ingewikkelder dan ik dacht...

*Is nog even aan het nadenken over dit probleem*

#3

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 23 januari 2006 - 23:11

Dat is het enveloppenprobleem.
Antwoord is dacht ik 5!-4!+3!-2!+1!

Bekijk eerst alle mogelijkheden zonder restrictie.
Haal daarvan af alle mogelijkheden waarbij (minstens) 1 persoon op zijn plek blijft.
Tel daarbij weer op alle mogelijkheden waarbij 2 personen op hun plek blijven enz.

#4

Wouter_Masselink

    Wouter_Masselink


  • >5k berichten
  • 8252 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 januari 2006 - 23:27

De eerste persoon kan kiezen uit 4 verschillende stoelen. Er van uitgaande dat deze kiest voor de stoel waar persoon 2 eerst op zat, dan kan deze ook kiezen uit 4 stoelen. De derde persoon kan kiezen uit 2 stoelen. Persoon 4 en persoon 5 kunnen zo nog maar beiden uit 1 stoel kiezen.

Dus: 4*4*2*1*1=16 mogelijkheden.
"Meep meep meep." Beaker

#5

Raspoetin

    Raspoetin


  • >1k berichten
  • 3514 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 januari 2006 - 23:51

De eerste persoon kan kiezen uit 4 verschillende stoelen. Er van uitgaande dat deze kiest voor de stoel waar persoon 2 eerst op zat, dan kan deze ook kiezen uit 4 stoelen. De derde persoon kan kiezen uit 2 stoelen. Persoon 4 en persoon 5 kunnen zo nog maar beiden uit 1 stoel kiezen.

Dus: 4*4*2*1*1=16 mogelijkheden.


De dikgemaakte zin in de quote hierboven volg ik niet.
Als persoon 1 gaat zitten op de stoel van persoon 2, dan hebben deze ieder (persoon 1 en 2) 4 mogelijkheden. Tot zo ver volg ik het nog. Stel dat Persoon 2 de stoel van Persoon 3 uitkiest, dan heeft persoon 3 de keuze uit:
Stoel 1
Stoel 2 niet (bezet)
Stoel 3 niet (bezet)
Stoel 4
Stoel 5

Dus 3 mogelijkheden ipv 2, of niet??
Als deze de stoel van persoon 4 kiest, dan heeft persoon 4 de keuze uit Stoel 1 en 5. Hij zal dan stoel 1 moeten nemen omdat anders persoon 5 niet op een andere stoel komt. Dus wordt de berekening volgens mij:
4*4*3*1*1
I'm not suffering from insanity - I'm enjoying every minute of it!!

#6

Wouter_Masselink

    Wouter_Masselink


  • >5k berichten
  • 8252 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 januari 2006 - 01:20

inderdaad je hebt gelijk. Ik dacht dat wanneer persoon 3 op de stoel van persoon 4 zou gaan zitten, dat persoon 4 dan op de stoel van persoon 3 zou gaan zitten. Dit hoeft natuurlijk niet zo te zijn.
"Meep meep meep." Beaker

#7

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 24 januari 2006 - 01:38

Stel eerst dat er 4 personen zijn op 4 stoelen.
Ik tel alleen de foute overgangen.
Je hebt daarbij de volgende mogelijkheden:
Allen behouden hun plaats (1 mogelijkheid)
1 persoon verandert van plaats (0 mogelijkheden)
2 personen veranderen van plaats (2 uit 4, dus 4.3/2 = 6 mogelijkheden)
3 personen veranderen van plaats (merk op abc wordt bca of cab, dus 2x 3 uit 4 mogelijkheden = 2.4 = 8 mogelijkheden)
In totaal 15 foute overgangen.
Dus goede overgangen: 4.3.2.1 - 15 = 9 goede overgangen.

Nu 5 personen op 5 stoelen.
0 pers. 1 mogelijkheid
1 pers. 0 m.
2 pers. 5.4/2 = 10 m.
3 pers. 2.5.4/2 = 20 m.
4 pers. 5.9 = 45 m.
Dus in totaal 76 foute overgangen.
Dus aantal goede overgangen is 5.4.3.2.1 - 76 = 44

#8

LJS

    LJS


  • 0 - 25 berichten
  • 3 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 24 januari 2006 - 08:50

wat bedoelen jullie nou? ik zie door de bomen het bos niet meer...
van faculteiten weet ik wel het een en het ander maar het "enveloppen probleem" gaat me wat te ver. Wie helpt mij verder?

BVD
LJS

#9

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 24 januari 2006 - 11:06

Mijn laatste bijdrage is correct. Er komt 44 uit.

Laat ik het nog eens in het algemeen aantonen.

In een kamer staan n stoelen waarop n kinderen zitten. Alle kinderen
staan op en gaan op een andere stoel zitten dan waarop zij zaten.
Dat kan op an manieren.

Het probleem is: Bereken a5.

Er zijn n! manieren waarop de kinderen (al dan niet) van plaats kunnen wisselen.
Die n! manieren bestaan uit:
Het aantal manieren waarop alle kinderen van plaats verwisselen +
het aantal manieren waarop alle kinderen op ťťn na van plaats verwisselen +
het aantal manieren waarop alle kinderen op 2 na van plaats verwisselen + ... +
het aantal manieren waarop geen kinderen van plaats verwisselen +

Nu is het aantal manieren waarop alle kinderen van plaats verwisselen an en
het aantal manieren waarop alle kinderen op ťťn na van plaats verwisselen (n boven 1)an-1 en
het aantal manieren waarop alle kinderen op 2 na van plaats verwisselen (n boven 2)an-2 enz.

Dus n! = (n boven 0)an + (n boven 1)an-1 + ... + (n boven n)a0.
Het is snel in te zien dat a0 = 1, a1 = 0, a2 = 1 en a3 = 2.

Dan is 4! = (4 boven 0)a4 + (4 boven 1)a3 + ... + (4 boven 4)a0 ofwel 24 = a4 + 4.2 + 6.1 + 0 + 1. Dus a4 = 9.

Dan is 5! = (5 boven 0)a5 + (5 boven 1)a4 + ... + (5 boven 5)a0 ofwel 120 = a5 + 5.9 + 10.2 + 10.1 + 0 + 1. Dus a5 = 44.
.

#10

bazzz

    bazzz


  • >100 berichten
  • 114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 januari 2006 - 12:49

Op het eerste gezicht zou je zeggen: 5*4*3*2*1, oftewel 5!. Maar omdat de kinderen niet op dezelfde stoel mogen gaan zitten, mag de eerste die op een stoel gaat zitten nog maar op 4 stoelen zitten. En de tweede mag op 4 stoelen gaan zitten, als de eerste gaat zitten op de stoel waarop de tweede eerst zat, anders maar op 3. Oei, is toch ingewikkelder dan ik dacht...

*Is nog even aan het nadenken over dit probleem*


Nee, je moet kijken hoeveel mogelijkheden er maximaal zijn! dus je moet gewoon 4 mogelijkheden nemen, en niet 3 8)

#11

JVV

    JVV


  • >100 berichten
  • 123 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 januari 2006 - 23:10

Iets soortgelijks is ook al een keer behandeld in dit topic
"Simplicity does not come of itself but must be created."

#12

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 25 januari 2006 - 11:07

Iets soortgelijks is ook al een keer behandeld in dit topic

Inderdaad, hetzelfde probleem.
Er wordt wel een antwoord gegeven, maar niet hoe je eraan komt.
Er worden 2 formules genoemd
an = (n-1)(an-1 + an-2)
en de formule van Euler
an = nan-1 + (-1)n
Die formules zijn makkelijk te bewijzen met mijn formule
n! = (n boven 0)an + (n boven 1)an-1 + ... + (n boven n)a0.

Het probleem heeft iets te maken met het getal e = 2,7172... zoals werd opgemerkt. Dat heeft te maken met het enveloppenprobleem dat erg veel op dit probleem lijkt. "Een postbode heeft n geadresseerde enveloppen en n bijbehorende brieven. Hij doet de brieven zonder te kijken willekeurig in de enveloppen. Wat is de kans dat er minstens 1 brief in een goede envelop zit". (antwoord :P 1/e, maar om precies te zijn 1/2! - 1/3! + 1/5! - ... :roll: 1/n!) Met de techniek waarop je het enveloppenprobleem oplost kun je ook bovenstaand probleem oplossen.
De oplossing voor 5 stoelen is 5!(1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5!) = 44.

Deze uitkomst krijg je ook door de inverse te nemen van mijn formule. (een techniek die niet zo bekend is).

#13

LJS

    LJS


  • 0 - 25 berichten
  • 3 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 25 januari 2006 - 19:52

ah oke, perfect, hartstikke bedankt allemaal!

#14

Raspoetin

    Raspoetin


  • >1k berichten
  • 3514 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 januari 2006 - 08:25

Maar PeterPan, als ik dit verhaal doorneem, kom ik uit op 48 mogelijkheden. En op het verhaal is (met mijn 10 jaar oude HAVO-3 Wiskunde) niet veel op te merken. Of moet het helemaal niet vermenigvuldigd worden?
I'm not suffering from insanity - I'm enjoying every minute of it!!

#15

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 januari 2006 - 10:02

Maar PeterPan, als ik dit verhaal doorneem, kom ik uit op 48 mogelijkheden.


Het verhaal gaat fout omdat het een aanname doet die niet klopt. Het aantal mogelijke stoelen waaruit persoon 3 kan kiezen is namelijk niet constant. Het is soms twee (als persoon 1 en 2 op stoel 2 en 1 zitten) en het is soms drie (als of persoon 1 of persoon 2 op stoel 3 gaat zitten). Je zult hier rekening mee moeten houden in je redenatie.

Het correcte antwoord is 44 (zoals PeterPan heeft laten zien).





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures