[natuurkunde] Snelheid van een trillende massa

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 103

Snelheid van een trillende massa

Ik loop halverwege vast met de volgende opgave:
 
Een massa van 0,1 gr. trilt harmonisch met een freq. van 3 Hz. Bereken de kracht die deze massa ondervindt op een opgenblik waarop de uitwijking 3 mm bedraagt.
Hoe groot is op zo'n ogenblik de snelheid van de trillende massa als de amplitude (a) 5 mm. is?
 
Het volgende plaatje hoort erbij:
 
Harmonische trilling.jpg
Harmonische trilling.jpg (25.13 KiB) 334 keer bekeken
 
Het eerste deel levert geen probleem op. Ik heb de volgende formule toegepast:
 
Kt = 4π2m/T2 x ut
 
m = 0,0001 kg, T = 1/3 en ut = 0,003 m. Dan wordt kt  = 1,08 π2 x 10-5 (Newton). Dat klopt met het antwoordenblad.
 
De snelheid op tijdstip t: daar kom ik dus niet uit. Ik weet dat ut = a sin (t x 360/T)  (= amplitude), waarbij de sinus gelijk is aan 0,6 (ut/a)
 
Daar zou ik t uit kunnen berekenen maar de formule vt = qt x t (qt is hier de versnelling) kan ik niet zo maar toepassen want de versnelling qt is niet constant maar afhankelijk van t.
 
Ik heb ook geprobeerd de formule  ut = a sin (t x 360/T) te differentiëren naar t. Je zou dan toch de snelheid op tijdstip t moeten krijgen:
 
d(ut)/dt = a x cos (t x 360/T) x 2πa/T.
 
a = 0,5 cm, cos (t x 360/T) = 0,8 en 2πa/T = 3π. Dat levert 1,2π op ca. 3,8 cm/sec. Het juiste antwoord zou moeten zijn 2,4 cm/sec.
 
Wie kan mij een tip geven?

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 51.244

Re: Snelheid van een trillende massa

even terug naar de bron van de harmonische trilling: een constante cirkelbeweging geprojecteerd op een plat vlak:
 
img-1079542-3-HarmonicMotion.gif
img-1079542-3-HarmonicMotion.gif (236.44 KiB) 321 keer bekeken
(klik op afbeelding voor animatie)
 
de snelheid van een pijlpunt op de cirkel, vc,  is constant. 
 
te berekenen via de omtrek van de betreffende cirkel en het aantal omwentelingen per seconde (dus 3 x de omtrek per seconde)
 
geprojecteerd op een verticaal vlak volg je het bolletje. 
 
de recht-op-en-neergaande snelheid vr heeft een goniometrische relatie met de snelheid vc op de cirkel, en de hoek van de pijl.:
 
vcvr.png
vcvr.png (36.5 KiB) 321 keer bekeken
 
en dan vind ik 7,5 cm/s. 
lijkt erop dat je antwoordenboekje buiten beschouwing laat dat de frequentie 3Hz is. 
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN...
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Berichten: 103

Re: Snelheid van een trillende massa

Uw antwoord van 7,5 is dus 0,8 (=de cosinus)  x 3 x π = 2,4 x π. En dan weet ik wel zeker dat op het antwoordenblad een foute opgave staat: 2,4 cm/sec ipv  2,4π cm/sec.
 
Ik zit alleen nog wel met de vraag waarom ik langs deze weg:
 
 
d(ut)/dt = a x cos (t x 360/T) x 2πa/T.
 
a = 0,5 cm, cos (t x 360/T) = 0,8 en 2πa/T = 3π. Dat levert 1,2π op ca. 3,8 cm/sec.
 
niet op het juiste antwoord kom. Die "ca 3,8" is natuurlijk precies de helft van 7,5 maar ik zie nog niet goed waarom die afgeleide in mijn citaat verkeerd zou zijn. De pijn zit, denk ik, in die factor a (= 0,5).

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 51.244

Re: Snelheid van een trillende massa

wgvisser schreef: En dan weet ik wel zeker dat op het antwoordenblad een foute opgave staat: 2,4 cm/sec ipv  2,4π cm/sec.
 
 
het eerste foutloze antwoordenboekje ter wereld moet nog gedrukt worden. En bijzondere karakters vallen wel eens weg bij documentbehandeling, dus lijkt op een verklaarbare fout. 
Je uitleg van die π lijkt logischer dan mijn uitleg van die mogelijk over het hoofd geziene 3 Hz.
 
 
wgvisser schreef: maar ik zie nog niet goed waarom die afgeleide in mijn citaat verkeerd zou zijn. De pijn zit, denk ik, in die factor a (= 0,5).
calculus is niet mijn sterke punt, dat laat ik aan anderen over. 
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN...
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.563

Re: Snelheid van een trillende massa

Zoals Jan van de Velde al aangaf in bericht nummer2 is de snelheid gelijk aan v=7,5 cm/s
\(\sin \left( 6 \cdot \pi \cdot t \right)=0,6 \)
\(6 \cdot \pi \cdot t=0,643501\)
\(t=0,0341387 s \)
\(v_{t}=0,005 \cdot 6 \cdot \pi \cdot \cos \left( 6 \cdot \pi \cdot 0,0341387\right) \)

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 51.244

Re: Snelheid van een trillende massa

aadkr schreef: Zoals Jan van de Velde al aangaf 
 
Dat was intussen ook het probleem niet meer, maar dit wél:
 
 
wgvisser schreef: Ik zit alleen nog wel met de vraag waarom ik langs deze weg:
 
d(ut)/dt = a x cos (t x 360/T) x 2πa/T.
a = 0,5 cm, cos (t x 360/T) = 0,8 en 2πa/T = 3π. Dat levert 1,2π op ca. 3,8 cm/sec.
 
niet op het juiste antwoord kom. Die "ca 3,8" is natuurlijk precies de helft van 7,5 maar ik zie nog niet goed waarom die afgeleide in mijn citaat verkeerd zou zijn. De pijn zit, denk ik, in die factor a (= 0,5).
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN...
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.563

Re: Snelheid van een trillende massa

img101.jpg
img101.jpg (56.18 KiB) 324 keer bekeken

Berichten: 103

Re: Snelheid van een trillende massa

Ik zat dus nog met de vraag
 
waarom ik langs deze weg:
 
d(ut)/dt = a x cos (t x 360/T) x 2πa/T.
a = 0,5 cm, cos (t x 360/T) = 0,8 en 2πa/T = 3π. Dat levert 1,2π op ca. 3,8 cm/sec.
 
niet op het juiste antwoord kom. Die "ca 3,8" is natuurlijk precies de helft van 7,5 maar ik zie nog niet goed waarom die afgeleide in mijn citaat verkeerd zou zijn. De pijn zit, denk ik, in die factor a (= 0,5).
 
Inderdaad zit de pijn in de factor a (amplitude). Die zat ten onrechte verstopt in de uitdrukking cos (t x 360/T). Als je dat naar radialen omzet dan luidt dat uiteraard: cos (t x 2π/T) en niet cos (t x 2πa/T).
 
d(ut)/dt wordt dan: a x cos (t x 2π/T) x 2π/T = 0,5 x 0,8 x 2π x 3 = 2,4π cm/sec.
 
Bedankt voor de helpende hand.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Snelheid van een trillende massa

Het is raadzaam om de amplitude als A te noteren, omdat de notatie a ook voor versnelling gebruikt wordt.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Reageer