Springen naar inhoud

[Lineaire algebra]: basis: onafhankelijk en voortbrengend?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

deadmaster

    deadmaster


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 27 januari 2006 - 18:30

Geachte,

Ik wil graag weten wat een onafhankelijke en voortbrengende basis is.
De "theorie" ken ik wel, maar ik begrijp ze niet zo goed.

Kan iemand het uitleggen via een voorbeeldje?

Dank bij voorbaat.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 januari 2006 - 18:36

Een stel vectoren is lineair onafhankelijk als geen van de vectoren geschreven kan worden als een lineaire combinatie van de anderen, of equivalent hiermee, als de nulvector niet als een lineaire combinatie van deze vectoren geschreven kan worden tenzij alle coŽfficiŽnten 0 zijn.

Een stel vectoren is voortbrengend voor een ruimte als elke vector uit die ruimte geschreven kan worden als een lineaire combinatie van de vectoren uit je voortbrengend stel.

Een basis is dan een stel vectoren dat zowel lineair onafhankelijk is als voortbrengend. Laat je een vector weg uit de basis, dan is ze niet meer voortbrengend. Voeg je er nog een toe, dan is die te schrijven als een lineaire combinatie van de vectoren die er al waren (want die waren voortbrengend) dus dan is het stel niet meer lineair onafhankelijk.

#3

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 januari 2006 - 18:40

Een voortbrengende basis is een verzameling elementen waarmee je d.m.v. lineaire operaties (optellen en scalaire vermenigvuldiging) de gehele vectorruimte kunt maken.
Een onafhankelijke basis houdt in dat geen van de elementen een lineaire combinatie van de rest is. Anders gezegd: de basis is "minimaal" in de zin dat je niet ťťn van de basis elementen kunt vormen met de andere. Want in dat geval zou je dat element ook weg kunnen laten en een kleinere basis overhouden.

Voorbeeld: vectorruimte is :D3 en een onafhankelijke voorbrengende basis is { (:P,1,0) , (2,[wortel]3,0) , (0,0,e5) }

Deze basis is voortbrengend, want ieder element in :)3 is te schrijven als a[.](:P,1,0)+b[.](2,[wortel]3,0)+c[.](0,0,e5) met zekere reŽle factoren a, b en c. En hij is onafhankelijk, want (:D,1,0) is niet te schrijven als a[.](2,[wortel]3,0)+b[.](0,0,e5) (met a,b :roll: :P) en datzelfde geldt voor de andere twee.

(edit) ah, TD was me voor [wortel]
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 januari 2006 - 18:42

Wat een exotische basis, ik zou bij wijze van voorbeeld beginnen met de standaardbasis [wortel]

#5

deadmaster

    deadmaster


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 27 januari 2006 - 19:32

Hey!

Bedankt! Het is enorm duidelijk. Vooral door de 2 verschilende inzichten!
Ik begreep vooral dat "onafhankelijk" niet, maar nu is het duidelijk.

Groeten,
Deadmaster

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 januari 2006 - 19:35

Mooi, aarzel niet als je nog vragen hebt!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures