Springen naar inhoud

[Lineaire Algebra]: Modale Matrices en Eigenvectoren


  • Log in om te kunnen reageren

#1

deadmaster

    deadmaster


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 januari 2006 - 11:20

Beste,

Wat bedoelen ze nu met die Modale matrices?
Wat kan je ermee gaan doen?
En die eigenvector: ik weet wel wat ze zijn, maar wat doen ze nu juist?

Alweer veel vragen, maar beter nu snappen dan nooit 8)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

rodeo.be

    rodeo.be


  • >250 berichten
  • 647 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 januari 2006 - 11:34

Eigenwaarden
1.1Van een modale matrix heb ik (en Wikipedia + google) nog niet gehoord [wortel] , je bedoelt ws iets anders

2.1. Wat is een eigenvector
Geplaatste afbeelding

Maw: het "beeld" van de vector is, op een constante factor na [de eigenwaarde!], opnieuw die matrix (T is een matrix, x uw eigenvector, lambda een constante)
2.2.Wat kan je ermee

Spectrale decompositie

Als alle eigenwaarden en -vectoren van een matrix berekend zijn, kan de bijbehorende afbeelding voorgesteld worden door een matrix met een eenvoudige gedaante, door de eigenvectoren te gebruiken als nieuw coŲrdinatenstelsel. Dit noemt men de spectrale decompositie van de matrix.

Toepassingen in de natuurkunde

De eigenwaarden en eigenvectoren vinden hun toepassing in de trillingstechniek. Als de bewegingsvergelijkingen van een meerdimensioneel massa-veer systeem in matrixnotatie worden opgeschreven, komen de eigenvectoren overeen met de eigentrillingen, en daarmee met de resonantiebeweging van het systeem. De eigenwaarden zijn dan gelijk aan het kwadraat van de resonantiefrequenties in radialen per seconde.


Eigenwaarden en spectraalwaarden nemen een belangrijke plaats in in de kwantummechanica, waar elke meetbare grootheid gerepresenteerd wordt als een lineaire operator en de spectraalwaarden van deze operator corresponderen met de mogelijke gemeten waarden van die grootheid.

???

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 januari 2006 - 11:38

Zelf gebruik ik nooit de term 'modale matrix' maar na even zoeken blijkt dat het de matrix is die als kolommen de eigenvectoren heeft. Wanneer een matrix A diagonaliseerbaar is, dan kan je A schrijven als: A = MDM-1 waarin die M dan de "modale matrix" is.

Wat je bedoelt met wat eigenvectoren 'doen' weet ik niet, volgens mij doen ze niet veel, maar ze hebben wel een interessante eigenschap. Eigenvectoren van een lineaire afbeelding (waaraan je dan een matrix kan associŽren) worden onder die afbeelding op een veelvoud van zichzelf afgebeeld. Er zijn wel tal van praktische toepassing waar die eigenvectoren dan wel een fysische interpretatie hebben (zoals in de fysica, mechanica, ...)

Maw: het "beeld" van de vector is, op een constante factor na [de eigenwaarde!], opnieuw die matrix (T is een matrix, x uw eigenvector, lambda een constante)

Je bedoelt wellicht dat de vector, na vermenigvuldiging met de matrix T, opnieuw diezelfde vector geeft (op een veelvoud na) en niet de matrix.

#4

deadmaster

    deadmaster


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 januari 2006 - 17:30

hey!

Ja, een modale matrix is inderdaad een matrix die in zijn kolommen lineaire onafhankelijke eigenvectore heeft.
En dat is inderdaad de formule van een "modale" matrix.

Nu vraag ik me af, wat is het nut van die lineaire onafhankelijke eigenvectoren? Ik snap feitelijk niet zo goed, waarom die nu per se "lin. onafh." moeten zijn.
Is dat de enigste manier om een matrix A te hebben die diagonaliseerbaar is te hebben?

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 januari 2006 - 17:51

Als je onvoldoende lineair onafhankelijke eigenvectoren vindt (en voor dimensie n moet je er ook n vinden), dan is de matrix inderdaad niet diagonaliseerbaar, dus het belang ervan is dan wel duidelijk.
Heb je ook al gehoord van algebraÔsche en meetkundige multipliciteit?

#6

rodeo.be

    rodeo.be


  • >250 berichten
  • 647 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 januari 2006 - 18:27

Heb je ook al gehoord van algebraÔsche en meetkundige multipliciteit?

(PS: snel het nodige nagelezen :wink: )
???

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 januari 2006 - 18:50

Ik kan niet volgen, over wie heb je het nu?

#8

rodeo.be

    rodeo.be


  • >250 berichten
  • 647 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 januari 2006 - 18:51

Ik kan niet volgen, over wie heb je het nu?

oei, verkeerd forum, sorry, een beetje een troubled mind vandaag
???

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 januari 2006 - 19:06

Ok... [wortel]

#10

deadmaster

    deadmaster


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 29 januari 2006 - 14:32

Heb je ook al gehoord van algebraÔsche en meetkundige multipliciteit?


In feite heb ik een cursus "Lineaire Algebra" op universitair niveau achter de rug. Helaas had ik een 9/20, dus mijn kennis is nogal gebrekkig. Ik ben gedelibereerd geweest, dus ik moet dat vak niet opnieuw doen, maar ik snap er eigelijk weinig van. Daarom dat ik nu probeer mijn kennis bij te spijkeren.

Kennis van Lin. Alg: Tot en met reŽle kwadratische functies. Dus eigenwaarden, eigenvectoren, algebraÔsche en meetkundige multipliciteiten.

Misschien die 2 termen ook nog eens goed uitleggen aub. Ik weet wel wat het is, maar voor de zekerheid dan maar. Of heb je goede referenties, of bronnen?

Ook liefst snel antwoorden, want morgen heb ik die wiskundige kennis nodig voor "multivariate data analyse". Hoera! :roll:

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 januari 2006 - 14:46

Wanneer je de eigenwaarden van je matrix bepaalt door van de hoofddiagonaal overal -k (ik gebruik hier voor het gemak k ipv de gebruikelijke lambda) bij te tellen en dan die de determinant hiervan gelijk te stellen aan 0, krijg je de "karakteristieke veelterm" gelijkgesteld aan 0, dus een vergelijking.

Voor een nxn-matrix is deze van de n-de graad in k en heeft dus (complexe oplossingen toegelaten) precies n wortels die niet noodzakelijk verschillend zijn. De multipliciteit van de wortel in deze vergelijking is precies die algebraische multipliciteit (am) van de bijbehorende eigenwaarde.

Voorbeeld: als een matrix aanleiding geeft tot de karakteristieke vergelijking: (k+1)(k-1)≤ = 0, dan heeft deze als eigenwaarden k = -1 en k = 1 met respectievelijk algebraische multipliciteit 1 en 2.

Voor elke eigenwaarde ga je dan de bijbehorende eigenvector(en) bepalen door oplossing van dat stelsel. Het aantal lineair onafhankelijke eigenvectoren dat je bij een bepaalde eigenwaarde vindt is precies de meetkundige multipliciteit (mm). Deze is dus gelijk aan de dimensie van de eigenruimte, de ruimte opgespannen door de eigenvectoren die bij die eigenwaarde horen.

Voor elke eigenwaarde geldt steeds: am :roll: mm.
Vermits je voor een nxn-matrix precies n lineair onafhankelijke eigenvectoren nodig hebt om de matrix te kunnen diagonaliseren moet er dus gelden dat voor elke eigenwaarde, am = mm. Indien er voor minstens ťťn eigenwaarde geldt dat mm < am (bvb am gelijk aan 2, zoals de k = 1 in mijn voorbeeld, maar slechts ťťn lineair onafhankelijke eigenvector die erbij hoort) dan is de matrix niet diagonliseerbaar.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures