Springen naar inhoud

[Wiskunde] Verwachtingswaarde


  • Log in om te kunnen reageren

#1

WimProot

    WimProot


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 29 januari 2006 - 13:43

Hallo,

Iemand die kan helpen met dit vraagstuk? Heb al een paar verschillende dingen geprobeerd, maar slaag er niet in de juiste E(x) uit te komen.

Volgens het handboek moet e(x)= 2.131 en var(x)=4.376.

Iemand die me kan helpen?

Bij een bloedonderzoek naar syfilis bij de strijdkrachten van de Verenigde Staten is de kans op een positieve reactie van een individu 0.05. Om een groep van 5 personen te onderzoeken voegt men hun 5 bloedmonsters samen en onderwerpt dit geheel aan de test. Is de reactie negatief, dan eindigt het onderzoek. Is de reactie positief, dan worden opnieuw 5 bloedmonsters aan de test onderworpen, maar nu elk afzonderlijk. Als de toevalsveranderlijke x als getalwaarde het totaal aantal proeven heeft dat we voor 5 personen moeten uitvoeren, bereken dan E(x) en var(x).

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

dr. E. Noether

    dr. E. Noether


  • >25 berichten
  • 96 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 januari 2006 - 14:16

Blijkens de gegevens doen zich 2 situaties voor:
i) Als er niemand ziek is, dan hoef je maar 1 test te doen;
ii) als er 1 of meer ziek zijn doe je opnieuw 5 tests en je had er al 1, dus totaal 6 tests.

Noem X = aantal uit te voeren tests.
De kans P(X=1) = P(niemand ziek) = (1 - 0.05)^5.
De kans P(X=6) = P(1 of meer ziek) = 1 - P(niemand ziek) = 1 - P(X=1).
Het verwachte aantal tests is dus: E[X] = 1*P(X=1) + 6*P(X=6).

Vanaf hier kun je het vast zelf. Succes ermee!

#3

WimProot

    WimProot


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 29 januari 2006 - 15:57

Zal wel lukken vanaf nu! Bedankt!

Eerst had ik het zo geprobeerd, maar had een klein detail vergeten, waardoor ik volledig de verkeerde weg opgeraakte.

Bedankt!

#4

dr. E. Noether

    dr. E. Noether


  • >25 berichten
  • 96 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 januari 2006 - 16:43

Graag gedaan. Misschien als besluit nog wel interessant om te vermelden dat in het geval van een groot aantal te onderzoeken patienten een dergelijk slimme methodiek van testen het aantal uit te voeren testen drastisch kan verminderen. Stelt u zich b.v. eens voor dat het bloed van zelfs n=10.000 mensen onderzocht moet worden. Als men weet dat de kans p op positieve uitslag betrekkelijk klein is, dan zou men de totale groep kunnen verdelen in N (N deelt n) kleinere subgroepen, b.v. N=50 groepen van 200 mensen of N=100 groepen van 100 mensen, en dan per subgroep de mensen testen volgens de in het vraagstuk beschreven methodiek. Door nu E[T] = E[X1] + E[X2] + ... + E[XN], de verwachting van het totaal aantal uit te voeren tests, uit te drukken in de groepsgrootte, kan worden bepaald welke groepsgrootte N de verwachting E[T] minimaliseert.

#5

A.Square

    A.Square


  • >250 berichten
  • 251 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 januari 2006 - 21:21

Sorry WimProot dat ik je draadje overneem. Maar jou vraag leek me beantwoord en mijn vraag past precies in het straatje.

Ik heb dus namelijk via een algemene formule geprobeerd

p=kans op gezond
n=aantal tests dat tegelijk uitgevoerd wordt
X=aantal tests dat uitgevoerd moet worden gezien de resultaten
E(X)=verwachtingswaarde van aantal tests

X    | P     | X*P

---------------------

1    |p^n    |p^n

n+1  |1-p^n  |(n+1)(1-p^n)

En dan geldt:
E(X)=pn+(n+1)(1-pn)
E(X)=pn+(n-npn+1-pn)
E(X)=-npn+n+1

En dan het minimum bepalen voor E(X), maar ik zie zo al in mijn grafieken-tekenprogramma (WinPlot van Peanut) dat het enige minimum op n=0 valt. Dit kan niet kloppen.
Wie weet wat ik fout doe?

#6

dr. E. Noether

    dr. E. Noether


  • >25 berichten
  • 96 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 januari 2006 - 22:50

Wat je hebt gedaan is goed, het klopt. Het is toch logisch dat hoe groter het aantal personen n in 1 groep, des te groter de verwachting E[X] zal zijn van het aantal uit te voeren tests voor die groep?

Aansluitend op mijn vorige post is wat jij doet een uiterste geval, namelijk dat je een groep van n personen hebt en dan N=1 subgroep maakt van dus n/N = n/1 = n personen. Het andere uiterste geval is dat je van een groep van n personen N=n subgroepen maakt van n/N = n/n = 1 persoon. In beide uitersten is de verwachting E[T] groot/maximaal. Voor een zekere N tussen 1 en n neemt E[T] echter een minimum aan. (N deelt n en p klein). Het verdelen van de groep van n personen in N groepen van n/N personen en dan pas testen volgens de methodiek als in het vraagstuk, is dan zeker een slimme manier om het aantal tests in het algemeen te beperken.

#7

A.Square

    A.Square


  • >250 berichten
  • 251 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 februari 2006 - 07:41

Wat je hebt gedaan is goed, het klopt. Het is toch logisch dat hoe groter het aantal personen n in 1 groep, des te groter de verwachting E[X] zal zijn van het aantal uit te voeren tests voor die groep?  


Oh ja! Nu zie ik het ook. Ik had natuurlijk het gemiddelde aantal per persoon moeten nemen. Dus dat is E(X)/n=-pn+1/n+1
En nu geeft mijn grafiek-editer inderdaad voor p=0,95 een mimum op X=5. Dan geldt een verwachtingswaarde van gemiddeld 0.42 tests per persoon.

En om het algabraïsch te vinden:
(E(X)/n)'=0
-pn*ln(p)-1/(n2) = 0
En dan n schrijven als functie van p. (wat ik niet kan...)


Aansluitend op mijn vorige post is wat jij doet een uiterste geval, namelijk dat je een groep van n personen hebt en dan N=1 subgroep maakt van dus n/N = n/1 = n personen. Het andere uiterste geval is dat je van een groep van n personen N=n subgroepen maakt van n/N = n/n = 1 persoon. In beide uitersten is de verwachting E[T] groot/maximaal. Voor een zekere N tussen 1 en n neemt E[T] echter een minimum aan. (N deelt n en p klein). Het verdelen van de groep van n personen in N groepen van n/N personen en dan pas testen volgens de methodiek als in het vraagstuk, is dan zeker een slimme manier om het aantal tests in het algemeen te beperken.


Nee toch? Ik heb nu een onbepaald grote groep. En een testgroep van steeds n mensen tegelijk. Als er in n mensen één of meer ziek blijken worden alle monsters apart nog een keer getest (dus respectievelijk 1 of n+1 tests nodig)
Er heerst verwarring omdat ik niet consequent ben geweest in de variabelen ten opzichte van alle voorgaande posters.

#8

dr. E. Noether

    dr. E. Noether


  • >25 berichten
  • 96 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 februari 2006 - 13:08

Prachtig, goed bezig! Wat jij doet is direct de veralgemenisering, dat wil zeggen: voor een onbepaald grote groep van k personen, bepaal jij, gegeven p, wat de grootte n moet zijn van een testgroep, opdat het aantal verwachte uit te voeren tests E[X]/n minimaal is. Als jij nu de grootte k van de groep krijgt, weet je ook wat E[T] is, namelijk k*minimum(E[X]/n).

Wat bij jou k zou zijn, is bij mij n; en wat bij jou n is, is bij mij N. Ik beperkte me tot het geval dat ook de grootte n (wat bij jou k zou zijn) van de totale groep bekend is, wat overigens niet nodig bleek, gezien de eenvoud van de veralgemenisering die jij hebt gedaan. Op mijn denkbeeldige manier zou je een uitdrukking krijgen voor E[T] als functie van N en p. Wat jij hebt gedaan verdient de voorkeur. Door verschillend gebruik van letters dus wat verwarring hiervoor. Succes verder.

#9

A.Square

    A.Square


  • >250 berichten
  • 251 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 februari 2006 - 21:44

Bedankt voor het supercoole compliment :roll:

Maar verder zal ik niet komen, want ik heb even zitten puzzelen op
-pn*ln(p)-1/(n2) = 0
Maar ik krijg niet echt n daaruit geïsoleerd.
Dus dat je qua variabelen louter n in het linkerlid hebt en louter p in het rechter.
Misschien dat als er in dit topic geen brilliant algabraïcus de vergelijking weet te isoleren dat ik hem nog eens in het wiskunde onderdeel post.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures