Springen naar inhoud

Cirkel verdelen in vlakken


  • Log in om te kunnen reageren

#1

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 31 januari 2006 - 18:50

Eerst plaatsen we 3 punten op de cirkelomtrek ,(gelijkmatig verdeeld), en dan verbinden we de 3 punten door rechte lijnen.
Dan plaatsen we op regelmatige afstanden 4 punten op de cirkelomtrek, en ook hier trekken we alle mogelijke rechte lijnen tussen de 4 punten.
Dan 5 punten enzovoort ( zie tekening).
De vraag is: is er een formule die het verband aangeeft tussen het aantal punten op de omtrek , en het aantal vlakken.

Geplaatste afbeelding

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Revelation

    Revelation


  • >1k berichten
  • 2364 berichten
  • Technicus

Geplaatst op 31 januari 2006 - 20:49

Uit de 3 figuren leid ik af dat de formule

y = 4^(x-3)

is, waarin y het aantal vlakken en x het aantal punten.

#3

JVV

    JVV


  • >100 berichten
  • 123 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 januari 2006 - 21:09

Voor die 3 figuren geldt;

v=2^(p-1)

Maar het gaat al heel snel mis, nl. bij de daaropvolgende al. Als ik goed tel krijg je het volgende rijtje;

3 punten -> 4 vlakken
4 punten -> 8 vlakken
5 punten -> 16 vlakken
6 punten -> 30 vlakken
7 punten -> 57 vlakken (oneven zelfs)
"Simplicity does not come of itself but must be created."

#4

Revelation

    Revelation


  • >1k berichten
  • 2364 berichten
  • Technicus

Geplaatst op 31 januari 2006 - 21:47

Ik heb verkeerd geteld bij mijn formule.. Ik had bij de eerste twee figuren respectievelijk 1 en 4 als vlakken geteld. [wortel]

Volgens mij klopt je formule toch JVV. Misschien heb je je vertekend?

EDIT: je hebt je niet verteld. :roll:

#5

Odyssius

    Odyssius


  • >100 berichten
  • 128 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 januari 2006 - 22:01

Ik heb verkeerd geteld bij mijn formule.. Ik had bij de eerste twee figuren respectievelijk 1 en 4 als vlakken geteld.


Dan kun je dit toch op te lossen door de buitenste randen bij je oude formule te gooien: f(x)= 4^(x-3) + x

nu, voor de eerste twee klopt dit, maar voor x = 5 krijg je dan 21. Dus dit klopt weer niet.

#6

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 31 januari 2006 - 22:36

Ik moet eerlijk zeggen dat ik de oplossing ook niet weet.
Het is in ieder geval behoorlijk ingewikkeld.

#7

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 31 januari 2006 - 23:26

Inderdaad, behoorlijk ingewikkeld.
y = 4, 8, 16, 30, 57, 88, 163, 230, ... voor x = 3,4,5,6,7,8,9,10,... .
Als x oneven is, dan is y = (x4 - 6x3 + 23x2 - 18x +24)/24.
Voor x even is het veel te veel gedoe.

Techniek: Gebruik Euler's formule V-E+F=2 en tel het aantal lijnen en snijpunten.

#8

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 02 februari 2006 - 14:04

Als aanvulling op de tabel van JVV
6 punten -> 15 lijnen -> 30 vlakken
7 punten -> 21 lijnen -> 57 vlakken
8 punten -> 28 lijnen -> 88 vlakken
9 punten ->36 lijnen ->163 vlakken

#9

JVV

    JVV


  • >100 berichten
  • 123 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 februari 2006 - 20:05

Het lijkt er heel sterk op dat de lijnen zich laten vangen door de formule;

x punten geeft ([sum_k] n) lijnen, met k=x-1

oftewel;

x punten => [(x-1)x/2] lijnen
"Simplicity does not come of itself but must be created."

#10

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 02 februari 2006 - 23:33

JVV , dat klopt helemaal.
Om die formule te vinden , heb ik als volgt geredeneerd.
Stel: We plaatsen op de omtrek v/d cirkel 6 punten (gelijkmatig verdeeld)
We nummeren de punten rechtsom gaand van 1,2, ... t/m6
We kunnen nu het lijnstuk van punt 1 naar punt 3 aangeven als (1,3)
De andere lijn stukken kunnen we ook op deze manier aangeven:
(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,5) (4,6) (5,6)
We kunnen deze lijn stukken plaatsen in een vierkante matrix[6 bij 6]
De hoofddiaconaal blijft leeg , en elementen die in de onderdriehoeksmatrix vallen, kunnen we spiegelen in de hoofddiaconaal en dus verplaatsen naar de bovendriehoeksmatrix.
Deze bovendriehoeksmatrix is dan totaal bezet, en heeft dus (6.6-6)/2
elementen ofwel lijnstukken.

#11

Revelation

    Revelation


  • >1k berichten
  • 2364 berichten
  • Technicus

Geplaatst op 03 februari 2006 - 10:05

Ik heb het anders beredeneerd om van punten naar lijnen te gaan: het is gewoon x boven 2 :roll:

Namelijk een punt kan naar x - 1 andere lijnen, maar alles wordt dan 2 keer gedaan. Dus dan maar een combinatie :P

#12

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 03 februari 2006 - 13:59

Knap gevonden.
PeterPan schreef: gebruik Eulers formule V-E+F=2
Zou hij hierover wat meer uitleg willen geven.

#13

JVV

    JVV


  • >100 berichten
  • 123 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 februari 2006 - 16:10

Als je alle snijpunten telt en alle lijnstukken (inclusief de bogen) tussen die snijpunten dan geldt volgens mij;

(aantal lijnstukken) - (aantal snijpunten) + 1 = aantal vlakken

bijvoorbeeld;
1 punt op de cirkel => 1 - 1 + 1 = 1 vlakken
2 punten op de cirkel => 3 - 2 + 1 = 2 vlakken
3 punten op de cirkel => 6 - 3 + 1 = 4 vlakken
4 punten op de cirkel => 12 - 5 + 1 = 8 vlakken
5 punten op de cirkel => 25 - 10 + 1 = 16 vlakken
6 punten op de cirkel => 48 - 19 + 1 = 30 vlakken
7 punten op de cirkel => 98 - 42 + 1 = 57 vlakken
8 punten op de cirkel => 144 - 57 + 1 = 88 vlakken
"Simplicity does not come of itself but must be created."

#14

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 februari 2006 - 21:09

Ik ben dit probleem al een tijd geleden tegengekomen.
Ik ben mijn oplossing van toen nog niet tegengekomen in deze topic:
Geplaatste afbeelding
Met n = aantal punten en Z = aantal zones
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#15

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 03 februari 2006 - 21:21

Ik ben dit probleem al een tijd geleden tegengekomen.
Ik ben mijn oplossing van toen nog niet tegengekomen in deze topic:
Geplaatste afbeelding
Met n = aantal punten en Z = aantal zones


Helemaal correct, maar alleen als n oneven is!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures