Springen naar inhoud

[meetkunde] raadsel koeien in de wei


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Bruce

    Bruce


  • >100 berichten
  • 200 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 februari 2006 - 13:09

Meetkundig raadsel:
(Misschien is dit raadsel hier ooit al eerder voorgekomen.)

In de wei staan vier paaltjes op de hoeken van een vierkant met zijden 1. Aan de paaltjes zit een touw ook met lengte 1 en aan de andere kant van het touw is een koe vastgebonden. De vier koeien grazen gras, want dat vinden ze fijn. Maar ze kunnen natuurlijk alleen grazen in een straal van 1 van hun paaltje. Hoe groot is nu het oppervlak waar alle vier de koeien kunnen grazen?

Als je hier goed in bent, kan je m 3d proberen: een kubus met ribben 1. Aan elke hoekpunt zit een mug aan een touwtje (met lengte 1) gebonden. Hoe groot is het volume waar alle 8 muggen kunnen vliegen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 februari 2006 - 13:17

Als ik het probleem niet verkeerd begrijp ben ik de vlakke versie al eens tegengekomen. Ik heb toen een meetkundige berekening gedaan en via rechtstreeks integreren, iemand anders lostte het op met de divergentiestelling.

We kwamen gelukkig tot hetzelfde resultaat, en dat was: LaTeX

#3

sirius

    sirius


  • >250 berichten
  • 336 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 februari 2006 - 14:39

Divergentie stelling? Hoe los je dat probleem nou weer op met de divergentiestelling?
Duct tape is like the force: it has a dark side, a light side and it holds the universe together.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 februari 2006 - 16:00

Ik veronderstel dat de meetkundige aanpak het best begrijpbaar is voor de meesten, mijn antwoord van vorige keer:

Geplaatste afbeelding

Oppervlakte vierkant noem ik Sv, van de cirkel Sc.
De gezochte oppervlakte S is aangeduid in het rood.

Gezocht: S = Sv - 4*(geel + oranje)

Geel + oranje kennen we (nog) niet maar oranje + 2* geel = groen wel, dat is namelijk het vierkant min een kwartcirkel.
Groen = Sv - 1/4 Sc = 1 - pi/4

We moeten nu óf geel (van groen aftrekken), óf oranje (bij groen optellen) vinden. Ik heb geel gezocht. Beschouw de 2 groene lijnstukken die cirkelsectoren (Ssect) afbakenen en een omgekeerde gelijkzijdige driehoek (Sd), vermits we precies tot aan de straal gaan (alle zijden = 1).

De oppervlakte van de 2x de gearceerde cirkelsector + geel is dus Sv - die gelijkzijdige driehoek.
geel = Sv - 2* Ssect - Sd

Een cirkelsector moet hoek a heeft als opperervlake Ra/2. De straal R is hier 1, de hoek pi/6 (30°, want 90°-30° = 60°, de hoek van de gelijkzijdige driehoek).
=> Ssect = pi/12

De hoogte van de driehoek volgt uit pythagoras en is √3/2.
=> Sd = √3/4

==> geel = Sv - 2* Ssect - Sd = 1 - 2*pi/12 - √3/4 = 1 - pi/6 - √3/4

===> (geel+oranje) = groen-geel = (1-pi/4)-(1-pi/6-√3/4) = (3√3-pi)/12

====> S = Sv - 4*(geel + oranje) = 1 - 4*(3√3-pi)/12 = 1 + pi/3 - √3

Dus: S = 1 + pi/3 - √3 ~ 0.3151467436

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 februari 2006 - 16:43

Tweede manier, met behulp van integralen.
Het werkt ook cartesisch maar omdat we hier met cirkels te maken hebben doe ik het in poolcoördinaten. De andere cirkels en rode rechten zijn als hulplijnen bedoeld.

Geplaatste afbeelding

Ik integreer over de groene oppervlakte, dit is 1/8e van het gevraagde.

De hoek loopt van LaTeX tot LaTeX en r loopt van de lijn y = 1/2 tot aan de rand van de cirkel, dat is 1. De lijn y = 1/2 wordt in poolcoördinaten LaTeX .

Dit levert:

LaTeX

Gelukkig hetzelfde als hierboven :wink:





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures