[meetkunde] raadsel koeien in de wei

Bruce

Meetkundig raadsel:

(Misschien is dit raadsel hier ooit al eerder voorgekomen.)

In de wei staan vier paaltjes op de hoeken van een vierkant met zijden 1. Aan de paaltjes zit een touw ook met lengte 1 en aan de andere kant van het touw is een koe vastgebonden. De vier koeien grazen gras, want dat vinden ze fijn. Maar ze kunnen natuurlijk alleen grazen in een straal van 1 van hun paaltje. Hoe groot is nu het oppervlak waar alle vier de koeien kunnen grazen?

Als je hier goed in bent, kan je m 3d proberen: een kubus met ribben 1. Aan elke hoekpunt zit een mug aan een touwtje (met lengte 1) gebonden. Hoe groot is het volume waar alle 8 muggen kunnen vliegen?

TD

Als ik het probleem niet verkeerd begrijp ben ik de vlakke versie al eens tegengekomen. Ik heb toen een meetkundige berekening gedaan en via rechtstreeks integreren, iemand anders lostte het op met de divergentiestelling.

We kwamen gelukkig tot hetzelfde resultaat, en dat was: \(1 + \pi /3 - \sqrt 3 \approx 0.315\)

sirius

Divergentie stelling? Hoe los je dat probleem nou weer op met de divergentiestelling?

TD

Ik veronderstel dat de meetkundige aanpak het best begrijpbaar is voor de meesten, mijn antwoord van vorige keer:

Afbeelding

Oppervlakte vierkant noem ik S_v, van de cirkel S_c.

De gezochte oppervlakte S is aangeduid in het rood.

Gezocht: S = S_v - 4*(geel + oranje)

Geel + oranje kennen we (nog) niet maar oranje + 2* geel = groen wel, dat is namelijk het vierkant min een kwartcirkel.

Groen = S_v - 1/4 S_c = 1 - pi/4

We moeten nu óf geel (van groen aftrekken), óf oranje (bij groen optellen) vinden. Ik heb geel gezocht. Beschouw de 2 groene lijnstukken die cirkelsectoren (S_sect) afbakenen en een omgekeerde gelijkzijdige driehoek (S_d), vermits we precies tot aan de straal gaan (alle zijden = 1).

De oppervlakte van de 2x de gearceerde cirkelsector + geel is dus S_v - die gelijkzijdige driehoek.

geel = S_v - 2* S_sect - S_d

Een cirkelsector moet hoek a heeft als opperervlake Ra/2. De straal R is hier 1, de hoek pi/6 (30°, want 90°-30° = 60°, de hoek van de gelijkzijdige driehoek).

=> S_sect = pi/12

De hoogte van de driehoek volgt uit pythagoras en is √3/2.

=> S_d = √3/4

==> geel = S_v - 2* S_sect - S_d = 1 - 2*pi/12 - √3/4 = 1 - pi/6 - √3/4

===> (geel+oranje) = groen-geel = (1-pi/4)-(1-pi/6-√3/4) = (3√3-pi)/12

====> S = S_v - 4*(geel + oranje) = 1 - 4*(3√3-pi)/12 = 1 + pi/3 - √3

Dus: S = 1 + pi/3 - √3 ~ 0.3151467436

TD

Tweede manier, met behulp van integralen.

Het werkt ook cartesisch maar omdat we hier met cirkels te maken hebben doe ik het in poolcoördinaten. De andere cirkels en rode rechten zijn als hulplijnen bedoeld.

Afbeelding

Ik integreer over de groene oppervlakte, dit is 1/8e van het gevraagde.

De hoek loopt van \(\pi/6\) tot \(\pi/4\) en r loopt van de lijn y = 1/2 tot aan de rand van de cirkel, dat is 1. De lijn y = 1/2 wordt in poolcoördinaten \(r\sin t = 1/2 \Leftrightarrow r = \frac{1}{{2\sin t}}\).

Dit levert:

\(\begin{array}{l} 8\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\int\limits_{\frac{1}{{2\sin t}}}^1 {rdr} dt} = 8\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left[ {\frac{{r^2 }}{2}} \right]_{\frac{1}{{2\sin t}}}^1 dt} = 8\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{2} - \frac{1}{{8\sin ^2 t}}dt} = 8\left[ {\frac{t}{2} + \frac{{\cot t}}{8}} \right]_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = 8\left( {\left( {\frac{\pi }{8} + \frac{1}{8}} \right) - \left( {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{\sqrt 3 }}{8}} \right)} \right) = 8 \cdot \frac{{\pi - 3\sqrt 3 + 3}}{{24}} = \frac{\pi }{3} - \sqrt 3 + 1 \approx 0.315 \end{array}\)

Gelukkig hetzelfde als hierboven

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[meetkunde] raadsel koeien in de wei

[meetkunde] raadsel koeien in de wei

Re: [meetkunde] raadsel koeien in de wei

Re: [meetkunde] raadsel koeien in de wei

Re: [meetkunde] raadsel koeien in de wei

Re: [meetkunde] raadsel koeien in de wei