[wiskunde] limieten...

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Berichten: 23

[wiskunde] limieten...

We zijn op school bezig met limieten (en rijen)... nu is het helaas zo dat ik er nog niet zo heel veel van snap...

stel ik heb de rij

tn =
\(\sqrt{4n^2+1}-2n\)
hoe bereken ik hier het limiet van... dus:
\(\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{4n^2+1}-2n\)
wat zijn precies de regels voor het bereken van limieten? Heeft iemand toevallig een link waar die allemaal op een rijtje staan?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] limieten...

Het gedrag op oneindig wordt bepaald door de termen die de hoogste graad hebben, maar een kwadraat onder een wortel of een eerste macht erbuiten zijn natuurlijk van dezelfde graad, laat je niet misleiden.
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {4n^2 - 1} - 2n = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {4n^2 \left( {1 - {raise0.5exhbox{$\scriptstyle 1$}\kern-0.1em/\kern-0.15emlower0.25exhbox{$\scriptstyle {4n^2 }$}}} \right)} - 2n = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left| {2n} \right|\sqrt {1 - {raise0.5exhbox{$\scriptstyle 1$}\kern-0.1em/\kern-0.15emlower0.25exhbox{$\scriptstyle {4n^2 }$}}} - 2n = 0\)
Vermits n positief is maken kunnen die absolute waarden weg. De uitdrukking onder de wortel gaat nu naar 1 omdat 1/(4n²) naar 0 gaat. Je houdt 2n-2n over en dat is 0.

Berichten: 23

Re: [wiskunde] limieten...

bedankt voor je antwoord, maar ik snap t nog niet helemaal...

jij begint met
\(\sqrt{4n^2-1}-2n\)
ipv
\(\sqrt{4n^2+1}-2n\)
(het verschil zit dus in + of - 1... ik neem aan dat dat niet zo zoveel uitmaakt en dat de volgende stap dan gewoon
\(\sqrt{4n^2(1+\frac{1}{4n^2})}-2n\)
is...

in de stap daarna is de \(4n^2\) opeens verdwenen en staat er 2n voor... dat is dus hetzelfde stukje (aangezien \(\sqrt{4n^2} = 2n\))? Als ik het dus allemaal goed begrijp is het dus een kwestie van heel erg goed logisch nadenken...

Re: [wiskunde] limieten...

\(\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{4n^2+1}-2n\)


=
\(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{4n^2+1}-2n)(\sqrt{4n^2+1}+2n)}{\sqrt{4n^2+1}+2n}\)
=
\(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4n^2+1 - (2n)^2}{\sqrt{4n^2+1}+2n}\)
=
\(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{4n^2+1}+2n}\)
= 0

Gebruikersavatar
Berichten: 2.364

Re: [wiskunde] limieten...

Ik heb dit nog niet gehad, maar als ik dit zie zou ik zo redeneren. Hecht hier niet te veel waarde aan totdat iemand anders die het wel heeft gehad zegt dat het klopt. Ik stel dat je iedere waarde behalve n mag weglaten, omdat als dat getal naar het limiet gaat het superklein is. n daarentegen is 1.
\(\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{4n^2+1}-2n\)
wordt dus
\(\sqrt{4*1^2 + 0 }-2*1\)
Het antwoord is dus 0.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] limieten...

@Revelation

Dit is letterlijk onzin! Als n naar oneindig gaat is n=1 en 1=0 onzin!!!

Gebruikersavatar
Berichten: 3.437

Re: [wiskunde] limieten...

Als je het "smerig" wil beredeneren, dan kan je wel zoiets doen: voor grote n is \(\sqrt{4n^2+1}\approx\sqrt{4n^2}=2n\) en dus gaat de limiet naar 0. Maar PeterPan's methode is veel netter.
Never underestimate the predictability of stupidity...

Berichten: 14

Re: [wiskunde] limieten...

\(\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{4n^2+1}-2n\)
Grote fout man! Stel dat je nu uiteindelijk 2n - 2n uitkomt, dan is dat ZEKER geen 0. Mijn leerkracht wiskunde zou op slag grijs haar krijgen, als hij dit las! :roll:

Bij oneindig min oneindig moet je trachten de werken naar een vorm van l'Hopital, meer bepaald oneindig/oneindig. Eens je dit bekomt, moet je teller en noemer afzonderlijk afleiden.

In deze oefening heb je te maken met een wortelvorm d.b. vermenigvuldigen met het toegevoegde deel. Hier mag je dan weer geen gebruik maken van de methode van l'Hopital.

En dan verder uitwerken volgens PeterPan's werkwijze :wink: .

Berichten: 179

Re: [wiskunde] limieten...

wat zijn precies de regels voor het bereken van limieten? Heeft iemand toevallig een link waar die allemaal op een rijtje staan?
bijvoorbeeld:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Limiet

en:

http://www.wisfaq.nl/overzicht.asp?Categorie=Limieten

en:

http://wisfaq.nl/showrecord3.asp?id=4212

en:

http://dedoorjoubedachtenaam.web-log.nl/log/3237471

en:

http://users.pandora.be/chris.cambre/chris...en_limieten.htm

en:

http://www.gricha.bewoner.antwerpen.be/asymptoten.htm

zoek verder op bijvoorbeeld:

"limietbegrip"

"limieten en onbepaalde vormen"

"limieten berekenen via ontbinden"

"limieten van rationale functies"

"limieten en insluitstelling"

"limieten van goniometrische functies"

"limieten en asymptoten"

"limieten en asymptotische krommen"

"limieten en continuiteit"

Misschien iemand nog andere ?

Gebruikersavatar
Berichten: 997

Re: [wiskunde] limieten...

Scientist in spé schreef:
\(\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{4n^2+1}-2n\)
Grote fout man! Stel dat je nu uiteindelijk 2n - 2n uitkomt, dan is dat ZEKER geen 0. Mijn leerkracht wiskunde zou op slag grijs haar krijgen, als hij dit las!   :roll:  

Bij oneindig min oneindig moet je trachten de werken naar een vorm van l'Hopital, meer bepaald oneindig/oneindig. Eens je dit bekomt, moet je teller en noemer afzonderlijk afleiden.

In deze oefening heb je te maken met een wortelvorm d.b. vermenigvuldigen met het toegevoegde deel. Hier mag je dan weer geen gebruik maken van de methode van l'Hopital.  

En dan verder uitwerken volgens PeterPan's werkwijze  :wink: .
elmo heeft wel gelijk, want hij bekomt helemaal geen oneindig min oneindig hij bekomt net nul

Gebruikersavatar
Berichten: 3.437

Re: [wiskunde] limieten...

Grote fout man! Stel dat je nu uiteindelijk 2n - 2n uitkomt, dan is dat ZEKER geen 0. Mijn leerkracht wiskunde zou op slag grijs haar krijgen, als hij dit las!.
Als jouw leerkracht beweert dat
\(\lim_{\nrightarrow\infty}(2n-2n)\neq0\)
dan vind ik dat die leerkracht wel op herhalingscursus mag....
Never underestimate the predictability of stupidity...

Berichten: 23

Re: [wiskunde] limieten...

jemig... een hele discussie! allemaal erg bedankt... maar is de bereking die TD! uitvoerd ook goed, aangezien ik die het makkelijkst vind.

een ander limiet dan:
\(\lim_{n \rightarrow \infty} \sin ( \frac{\pi}{3+ \frac{n^2-1}{n^2+1}})\)
het lijkt me dat je dan eerst het limiet van
\(\frac{n^2-1}{n^2+1}\)
moet nemen... ook leek het me dat
\(n^2\)
tegen elkaar weg viel en dat je dan
\(\frac{-1}{n^2+1}\)
overhoudt (mijn vereenvoudigskills zijn niet erg goed, ik ben er ook niet zeker van of dit wel klopt...)

het limiet van
\(\frac{n^2-1}{n^2+1}\)
zou volgens het antwoordenboekje +1 moeten zijn, maar daar kom ik niet echt op uit... (het leek me dat je oneindig-1 deelt door oneindig+1 ... dat leek mij -1... hoe los ik dit op?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] limieten...

Bij zo'n limieten van rationale veeltermbreuken wordt het de limiet bepaald (als je naar oneindig gaat ten minste) door de termen van de hoogste graad. Kort samengevat geldt gewoonlijk:

Is de graad van de teller groter, dan ga je naar oneindig. Is die van de noemer groter, dan ga je naar 0. Zijn ze gelijk, dan gaat de breuk naar de verhouding van de coëfficiënten van die hoogstegraads-termen. Eventueel wel op de tekens letten.

Hier zijn die coëfficiënten van n² in teller en noemer 1, dus de verhouding (en ook de limiet van die breuk, voor n gaande naar oneindig) is 1.

Berichten: 23

Re: [wiskunde] limieten...

aha ok, dat is goed om te weten :roll: bedankt!

dan nog een probleem:
\(\lim_{n \rightarrow \infty} n \left (\sqrt{4 + \frac{4}{n}} - 2 \right)\)
ik weet niet echt waar ik moet beginnen...
\(\frac{4}{n}\)
wordt 0, en dan hou ik over het hele gedeelte n * 0 over... maar dat lijkt me niet het goede antwoord... hoe los ik zoiets op?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] limieten...

Zo ga je inderdaad naar iets van de vorm \(\infty \cdot 0\), je kan dit wel naar een geval 0/0 herleiden door die factor n te vervangen door een noemer 1/n. om dan daarop l'Hopital toe te passen.

Wat ook kan is teller en noemer vermenigvuldigen met \(\left (\sqrt{4 + \frac{4}{n}} + 2 \right)\) en dan vereenvoudigen in de teller, zo heb je geen l'Hopital nodig. De teller wordt dan netjes 4 en dat wordt de noemer dan ook, als n naar oneindig gaat dus de limiet zal 1 zijn.

Reageer