[Algebra] Verrassende uitkomst.

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Berichten: 251

[Algebra] Verrassende uitkomst.

y2-x2=y+x

Probeer uit die vergelijking eens y als functie van x te schrijven.

Je komt op een zeer verrassende uitkomst.

ps: Ik kwam op het sommetje toen ik opmerkte dat 32-22=5=3+2

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 51.259

Re: [Algebra] Verrassende uitkomst.

geldt dat niet alleen onder voorwaarde dat y=x+1 ??
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN...
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [Algebra] Verrassende uitkomst.

y²-x²=(y-x)(y+x)!!! Dit is een identiteit, dus voor alle waarden van x en y!

Berichten: 251

Re: [Algebra] Verrassende uitkomst.

geldt dat niet alleen onder voorwaarde dat y=x+1 ??
Goed gezien! :roll:

Maar kun je het ook bewijzen?
y²-x²=(y-x)(y+x)!!! Dit is een identiteit, dus voor alle waarden van x en y!
Dat brengt je wellicht op weg (ik weet het niet want ik ben een andere rinchting ingeslagen), maar het vraagstuk is er nog niet mee opgelost.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 51.259

Re: [Algebra] Verrassende uitkomst.

Jan van de Velde schreef:geldt dat niet alleen onder voorwaarde dat y=x+1 ??
Goed gezien! :P

Maar kun je het ook bewijzen?
wie? :wink:

ik? :P

bewijzen? :roll:

Nee, dank je. Aan jullie de eer!! 8)
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN...
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Berichten: 7.068

Re: [Algebra] Verrassende uitkomst.

A.Square schreef:y2-x2=y+x

Probeer uit die vergelijking eens y als functie van x te schrijven.
\(y^2 - x^2 = (y+x)\cdot(y-x) = y+x\)
dus:
\(y+x = 0\)
of
\(y-x = 1\)
oplossingen:
\(y=-x\)
en
\(y = x+1\)

Berichten: 251

Re: [Algebra] Verrassende uitkomst.

EvilBro schreef:
A.Square schreef:y2-x2=y+x

Probeer uit die vergelijking eens y als functie van x te schrijven.
\(y^2 - x^2 = (y+x)\cdot(y-x) = y+x\)
dus:
\(y+x = 0\)
of
\(y-x = 1\)
oplossingen:
\(y=-x\)
en
\(y = x+1\)
Wauw ... die methode is nog meer de sjit dan de mijne.

Ik deed dit:
\(y^2 - x^2 = y+x\)
\(y^2 - y - (x^2 + x) = 0\)
(En nu komt het coole gedeelte)

abc-formule in y met:
\(a = 1\)
;
\(b = -1\)
;
\(c = - (x^2 + x)\)
\(D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)( -(x^2 + x) = 4x^2 + 4x + 1\)
\(y = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\)
of
\(y = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\)
dus
\(y = \frac{1 - \sqrt{4x^2 + 4x + 1}}{2}\)
of
\(y = \frac{1 + \sqrt{4x^2 + 4x + 1}}{2}\)
dus
\(y = 0,5 - \sqrt{x^2 + x + 0.25}\)
of
\(y = 0,5 + \sqrt{x^2 + x + 0.25}\)
En als je die vergelijkingen in een grafieken-editer gooit zie je als snel dat ze samen vormen: y=x+1 en y=-x (Zie EDIT)

Ik had gehoopt dat mijn oplossing de elegantste zou zijn. Maar ik ben kennelijk weer overtroffen.

EDIT: feitelijk geldt:
\(0,5 - \sqrt{x^2 + x + 0.25} = - |x + 0,5| + 0,5\)
en
\(0,5 - \sqrt{x^2 + x + 0.25} = + |x + 0,5| + 0,5\)
Maar die twee vormen samen de bonvengenoemde rechte lijnen

Berichten: 179

Re: [Algebra] Verrassende uitkomst.

A.Square schreef:(En nu komt het coole gedeelte)

abc-formule in y met:
\(a = 1\)
;
\(b = -1\)
;
\(c = - (x^2 + x)\)
\(D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)( -(x^2 + x) = 4x^2 + 4x + 1\)
\(y = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\)
of
\(y = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\)
dus
\(y = \frac{1 - \sqrt{4x^2 + 4x + 1}}{2}\)
of
\(y = \frac{1 + \sqrt{4x^2 + 4x + 1}}{2}\)
dus
\(y = 0,5 - \sqrt{x^2 + x + 0.25}\)
of
\(y = 0,5 + \sqrt{x^2 + x + 0.25}\)
En als je die vergelijkingen in een grafieken-editer gooit zie je als snel dat ze samen vormen: y=x+1 en y=-x (Zie EDIT)

EDIT: feitelijk geldt:
\(0,5 - \sqrt{x^2 + x + 0.25} = - |x + 0,5| + 0,5\)
en
\(0,5 - \sqrt{x^2 + x + 0.25} = + |x + 0,5| + 0,5\)
Maar die twee vormen samen de bonvengenoemde rechte lijnen


Wat is er dan zo cool aan deze oplossing? Toch gewoon rekenwerk? :roll:

Berichten: 251

Re: [Algebra] Verrassende uitkomst.

Ik vond het persoonlijk wel cool om het te koppelen aan de abc-formule.

Is niet je eerste gedachte leek me.

Althans .. voor ons was de abc-formule niet iets dat je toepast op variabele a,b of c.

Gebruikersavatar
Berichten: 710

Re: [Algebra] Verrassende uitkomst.

De mens is een dier dat met zijn voorpoten Bach speelt.

Berichten: 251

Re: [Algebra] Verrassende uitkomst.

Er zijn natuurlijk ook varianten (die trouwens niet allemaal met bijzondere producten op te lossen zijn, wel met mijn aanpak)
\(y^2 + x^2 = y + x\)
\(y^2 - x^2 = y - x\)
\(y^2 + x^2 = y - x\)
\(y^2 + x^2 = x - y\)
\(y^2 - x^2 = x - y\)
\(x^2 - y^2 = x + y\)
\(x^2 - y^2 = x - y\)
\(x^2 - y^2 = y - x\)

Berichten: 251

Re: [Algebra] Verrassende uitkomst.

A.Square schreef:Er zijn natuurlijk ook varianten (die trouwens niet allemaal met bijzondere producten op te lossen zijn, wel met mijn aanpak)
\(y^2 + x^2 = y + x\)
(...)
Voor die heb ik wel een leuke oplossing:
\(y^2 + x^2 = y + x\)
\(y^2 + x^2 - y - x = 0 \)
(alles naar links)
\(y^2 + x^2 - y - x + 0,5 = 0,5\)
(0,5 er bij optellen)
\(x^2 - x + y^2 - y + 0,5 = 0,5 \)
(variabelen groeperen op type)
\((x^2 - x +0,25) + (y^2 - y + 0,25) = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 \)
(0,5 verdelen over 'groepjes', rechterlid schrijven als kwadraat)
\((x - 0,5)^2 + (y - 0,5)^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 \)
(omgekeerd merkwaardig product, )

Dus de oplossingscurve is een cirkel met middelpunt M(0,5;0,5) en straal r=1/[wortel]2

Maar daar kom je natuurlijk nooit op als je dat niet weet.

Gebruikersavatar
Lorentziaan
Berichten: 1.433

Re: [Algebra] Verrassende uitkomst.

Haha, leuke uitwerking A.Square!

Reageer