Wetenschapsforum

y²-x²=y+x

Probeer uit die vergelijking eens y als functie van x te schrijven.

Je komt op een zeer verrassende uitkomst.

ps: Ik kwam op het sommetje toen ik opmerkte dat 3²-2²=5=3+2

geldt dat niet alleen onder voorwaarde dat y=x+1 ??

y²-x²=(y-x)(y+x)!!! Dit is een identiteit, dus voor alle waarden van x en y!

geldt dat niet alleen onder voorwaarde dat y=x+1 ??

Goed gezien!

Maar kun je het ook bewijzen?

y²-x²=(y-x)(y+x)!!! Dit is een identiteit, dus voor alle waarden van x en y!

Dat brengt je wellicht op weg (ik weet het niet want ik ben een andere rinchting ingeslagen), maar het vraagstuk is er nog niet mee opgelost.

Jan van de Velde schreef:geldt dat niet alleen onder voorwaarde dat y=x+1 ??

Goed gezien!

Maar kun je het ook bewijzen?

wie?

ik?

bewijzen?

Nee, dank je. Aan jullie de eer!! 8)

A.Square schreef:y²-x²=y+x

Probeer uit die vergelijking eens y als functie van x te schrijven.

dus:
of oplossingen:
en

EvilBro schreef:

A.Square schreef:y²-x²=y+x

Probeer uit die vergelijking eens y als functie van x te schrijven.

\(y^2 - x^2 = (y+x)\cdot(y-x) = y+x\)

dus:

\(y+x = 0\)

of

\(y-x = 1\)

oplossingen:

\(y=-x\)

en

\(y = x+1\)

Wauw ... die methode is nog meer de sjit dan de mijne.

Ik deed dit:
(En nu komt het coole gedeelte)

abc-formule in y met:
; ; of
dus
of
dus
of
En als je die vergelijkingen in een grafieken-editer gooit zie je als snel dat ze samen vormen: y=x+1 en y=-x (Zie EDIT)

Ik had gehoopt dat mijn oplossing de elegantste zou zijn. Maar ik ben kennelijk weer overtroffen.

EDIT: feitelijk geldt:
en
Maar die twee vormen samen de bonvengenoemde rechte lijnen

A.Square schreef:(En nu komt het coole gedeelte)

abc-formule in y met:

\(a = 1\)

;

\(b = -1\)

;

\(c = - (x^2 + x)\)

\(D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)( -(x^2 + x) = 4x^2 + 4x + 1\)

\(y = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\)

of

\(y = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\)

dus

\(y = \frac{1 - \sqrt{4x^2 + 4x + 1}}{2}\)

of

\(y = \frac{1 + \sqrt{4x^2 + 4x + 1}}{2}\)

dus

\(y = 0,5 - \sqrt{x^2 + x + 0.25}\)

of

\(y = 0,5 + \sqrt{x^2 + x + 0.25}\)

En als je die vergelijkingen in een grafieken-editer gooit zie je als snel dat ze samen vormen: y=x+1 en y=-x (Zie EDIT)

EDIT: feitelijk geldt:

\(0,5 - \sqrt{x^2 + x + 0.25} = - |x + 0,5| + 0,5\)

en

\(0,5 - \sqrt{x^2 + x + 0.25} = + |x + 0,5| + 0,5\)

Maar die twee vormen samen de bonvengenoemde rechte lijnen

Wat is er dan zo cool aan deze oplossing? Toch gewoon rekenwerk?

Ik vond het persoonlijk wel cool om het te koppelen aan de abc-formule.

Is niet je eerste gedachte leek me.

Althans .. voor ons was de abc-formule niet iets dat je toepast op variabele a,b of c.

http://www.wetenschapsforum.nl/invision/in...5041&highlight=

ook x²-y²= x+y

Er zijn natuurlijk ook varianten (die trouwens niet allemaal met bijzondere producten op te lossen zijn, wel met mijn aanpak)

A.Square schreef:Er zijn natuurlijk ook varianten (die trouwens niet allemaal met bijzondere producten op te lossen zijn, wel met mijn aanpak)

\(y^2 + x^2 = y + x\)

(...)

Voor die heb ik wel een leuke oplossing:
(alles naar links)
(0,5 er bij optellen)
(variabelen groeperen op type)
(0,5 verdelen over 'groepjes', rechterlid schrijven als kwadraat)
(omgekeerd merkwaardig product, )

Dus de oplossingscurve is een cirkel met middelpunt M(0,5;0,5) en straal r=1/[wortel]2

Maar daar kom je natuurlijk nooit op als je dat niet weet.

Haha, leuke uitwerking A.Square!