[wiskunde]Regelmatige Veelhoek

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 51

[wiskunde]Regelmatige Veelhoek

Voor regelmatige 6hoek is

Z6 =2R .sin180°/6=2R . sin 30°=2R . 1/2=R

Apothema6 =R . cos180°/6=R.cos30°=R. :P 3/2=0,87R

-----------------------------------------

Voor regelmatige 4hoek (vierkant)

Zijde4 = 2R . sin45°= :roll: 2 . R =1,40r

Apothema4=R.cos45°=R. :P 2/2 =0,7r

-----------------------------------------------------------

Voor regelmatige 1000hoek is

Z1000= 2R .180/1000=2R.Sin..=0,006R

omtrek = 1000. Z1000=6,28..R (2pi = 3.14159265)

Nu vraag ik me af hoe je oppervlakte berekent???
~*~Edvina~*~

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde]Regelmatige Veelhoek

Opp=n*1/2*lengte zijde*apothema=n*1/2*2Rsin(Pi/n)*Rcos(Pi/n)=1/2*n*R²*sin(2Pi/n)=1/2*nR²*sin(2Pi/n)=1/2*2Pi*R²sin(2Pi/n)/(2pi/n)=Pi*R²*...

Als n naar oneindig gaat gaat 2Pi/n naar 0 en de breuk op de ... naar 1.

In de limietovergang krijg je Opp=Pi*R²

Komt het je bekend voor?

Berichten: 7.068

Re: [wiskunde]Regelmatige Veelhoek

Nu vraag ik me af hoe je oppervlakte berekent???


Elke regelmatige veelhoek met k hoeken is op te delen in k gelijkbenige driehoeken. De benen van deze driehoek zijn R lang. De basis is z lang. De hoek van de top van deze driehoek is gelijk aan:
\(a = \frac{2 \cdot \pi}{k}\)
Vanuit de top kun je een lijn trekken die loodrecht op de basis staat en de driehoek in twee gelijke driehoeken deelt met een rechte hoek. Deze lijn heeft lengte h.

Hieruit volgt:
\(z = 2 \cdot R \cdot \sin(\frac{a}{2}) = 2 \cdot R \cdot \sin(\frac{\pi}{k})\)
\(h = R \cdot \cos(\frac{a}{2}) = R \cdot \cos(\frac{\pi}{k})\)
Hiermee is ook het oppervlak te berekenen van een driehoek (namelijk twee keer het oppervlak van een gedeelde driehoek):
\(O = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{z}{2} \cdot h) = \frac{z \cdot h}{2} = \frac{R^2 \cdot 2 \cdot \sin(\frac{\pi}{k}) \cdot \cos(\frac{\pi}{k})}{2}= \frac{R^2 \cdot \sin(\frac{2 \cdot \pi}{k})}{2}\)
Het totale oppervlak van de veelhoek is dus k maal dit oppervlak:
\(TO = k \cdot O = \frac{1}{2} \cdot k \cdot R^2 \cdot \sin(\frac{2 \cdot \pi}{k})\)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde]Regelmatige Veelhoek

@Edvina

Eigenlijk op dezelfde manier als de omtrek.

Jij nam daar 1000*lengte basis (van een 'kleine' drh).

Dus nu neem je 1000*opp (van een 'kleine' drh) met opp 'kl' drh=1/2*2Rsin(180/1000)*Rcos(180/1000), (begrijp je deze formule voor de opp?)

Als je in de formule van mijn post n=1000 neemt krijg je hetzelfde.

Opm: een andere formule van de opp van een driehoek is "het halve product van twee zijden maal de sinus van de ingesloten hoek"

Toegepast op de 'kl' drh met zijden R, R en ingesloten hoek 360/1000, krijg je

opp 'kl' drh=1/2*R*R*sin(360/1000) en dat stemt overeen met het eindresultaat in die formule.

Berichten: 3

Re: [wiskunde]Regelmatige Veelhoek

Het oppervlak van een veelhoek met n zijden van lengte a is ook uit te rekenen uitgaande van a.

Oppervlak A=((a^2)/4)*TAN(PI*(1-2/n)/2)*n.

Als je de straal uitrekent van een cirkel die samenvalt met de hoekpunten, r=a/(2*COS(PI*(1-2/n)/2)), en je rekent de oppervlakte van deze cirkel uit dan zie je dat naarmate n groter wordt het verschil tussen de twee oppervlakken nadert tot PI*(a^2)/6.

Als je daarentegen a afleid van een bepaalde r dan gaat het verschil tussen de twee oppervlakten bij grotere n natuurlijk naar 0.

Berichten: 3

Re: [wiskunde]Regelmatige Veelhoek

Nog een kleine toevoeging: Na wat omschrijven wordt bericht #5 een stuk eenvoudiger:

tan(pi*(1-2/n)*2)=1/(tan(pi/n))=cot(pi/n) en cos(pi*(1-2/n)*2)=sin(pi/n).

Berichten: 165

Re: [wiskunde]Regelmatige Veelhoek

Vraag: waar heb je de som vandaan? Komt me namelijk bekend voor.

Succes met oplossen!

Fons

Berichten: 8.614

Re: [wiskunde]Regelmatige Veelhoek

Ik vrees dat edvina niet meer (snel) zal antwoorden, daar de oorspronkelijke vraag al meer dan drie jaar oud is.
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!

Reageer