Springen naar inhoud

Leuk: de som van 1/(alle priemgetallen)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Elmo

    Elmo


  • >1k berichten
  • 3437 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 februari 2006 - 10:15

Voor de grap (en om te spelen met LaTeX) bekijken we de som
LaTeX
waarin LaTeX de priemgetallen zijn. Als ik deze som numeriek uitreken voor alle priemgetallen LaTeX is het resultaat 2.705 en voor alle priemgetallen LaTeX is het resultaat nog steeds maar 3.041. De logische vraag is nu: convergeert deze som naar een eindig getal, of divergeert ze? Tot mijn grote verbazing divergeert de som voor LaTeX !

Het bewijs hiervoor was al bekend bij Euler, en ik zal hier een schetsje geven:

Bekijk het product
LaTeX
over alle priemgetallen LaTeX . Gebruik vervolgens de geometrische serie
LaTeX
om te vinden dat
LaTeX

Als we het rechterlid uitwerken, dan geeft dit een som van termen van 1/n waarin n bestaat uit priemgetallen LaTeX . Aangezien iedere n uniek in priemgetallen te factorizeren is die elk LaTeX weet je dat de term 1/n in de sommatie zal voorkomen!
Het gevolg hiervan is dat
LaTeX .
Aangezien de som aan de rechterkant divergeert voor LaTeX , is de conclusie dat het product aan de linkerzijde ook divergeert.

Nu het laatste trucje: aangezien LaTeX als LaTeX geldt dus dat
LaTeX
Dit completeert het bewijs, want de rechterzijde divergeert voor LaTeX en dus moet de som over de priemgetallen ook divergeren.

Zoals eerder al was opgemerkt, de divergentie is vreselijk traag en gaat ruwweg als LaTeX . Het is de traagst divergerende (redelijkerwijs bekende) som die ik ken.

Leuk, toch?
Never underestimate the predictability of stupidity...

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Elmo

    Elmo


  • >1k berichten
  • 3437 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 februari 2006 - 21:18

Vergeten te vragen: kent iemand een ander (leuker, korter, simpeler, ...) bewijs voor de divergentie van deze som?
Never underestimate the predictability of stupidity...

#3

sirius

    sirius


  • >250 berichten
  • 336 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 februari 2006 - 10:07

de functie LaTeX is toch gedefineerd als het aantal priemgetallen p met p<n?
Als dit zo is, dan kun je vanuit het resultaat van de afleiding stellen dat voor alle LaTeX geldt dat voor alle LaTeX
o.d.d. LaTeX

Dus iedere afleiding moet gebaseerd zijn op een LaTeX die hier aan voldoet.
Duct tape is like the force: it has a dark side, a light side and it holds the universe together.

#4

Nabuko Donosor

    Nabuko Donosor


  • >25 berichten
  • 94 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 februari 2006 - 16:05

ik denk dat er een fout staat in je bewijs elmo,
je zegt dat x>1/2*log(1/(1-x)) voor 0<x<=2, maar het domein van 1/2*log(1/(1-x)) is ]-oneindig , 1 [ ? het geldt wel voor 0<x<=1/2, wat voldoende is omdat 2 het kleinste priemgetal is.
ik zou hierbij graag een tweede vraag stellen ; we weten dat :roll: 1/n genomen over alle natuurlijke getallen divergeert en ook dat :P 1/p genomen over alle priemgetallen naar oneindig gaat (wat een verscherping is van vorige vaststelling). Zijn er nog kleinere verzamelingen (bv alle priemen 1mod4) waarvoor die "harmonische som" divergeert, sterker nog, als je een willekeurige oneindige verzameling natuurlijke getallen hebt, divergeert die harmonische som dan? Het laatste is waarschijnlijk erg moeilijk te bewijzen, maar heeft iemand een idee? Of een tegenvoorbeeld?

#5

Ernie

    Ernie


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 februari 2006 - 16:20

Voor zover ik weet is {2, 4, 8, 16, ...} een oneindige verzameling van natuurlijke getallen, en 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1 :wink:

#6

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 februari 2006 - 16:32

ik heb een leuk bewijsje , zeer elementair , gevonden in Hardy en Wright

nummer alle priemgetallen, met LaTeX het jde

noem nuLaTeX van een natuurlijk getal x het aantal natuurlijke getallen van 1 tot aan x, dat enkel uit de j eerste priemgetallen opgebouwd is

nu is elk getal van die vorm opgebouwd als LaTeX met
b kwadraatvrij, dus geen priemgetallen dubbel hierin

voor a zijn er hoogstensLaTeX mogelijkheden
voor b kan je elk priemgetal van LaTeX totLaTeX kiezen (maar ofwel neem je het precies een keer, ofwel niet, want het moet kwadraatvrij zijn), dus LaTeX
dus is LaTeX



wat kan je hier mee doen?


wel stel je reeks convergeert, dan zijn vanaf een zekere term de 'resttermen' kleiner dan een halfje tesamen :

LaTeX


maar het aantal getallen voor een willekeurig getal x dat veelvoud is van LaTeX en onder x is hoogstens LaTeX

het aantal getallen dat dus niet tot LaTeX bijdraagt is dus hoogstens

LaTeX

dus is LaTeX
ofLaTeX

echter dit zou impliceren dat LaTeX en dit voor alle natuurlijke x
en dat kan uiteraard niet

we hebben dus een strijdigheid





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures