Springen naar inhoud

onderzoek kleinste waarde


  • Log in om te kunnen reageren

#1

issie

    issie


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 februari 2006 - 14:01

deze opgave vind ik erg moeilijk:

Onderzoek wat de kleinste waarde is die a/b + b/c + c/a kan aannemen als a b c positieve getallen zijn.. de juistheid hoef je niet te bewijzen

Onderzoek wat de kleinste waarde is die a/b + b/c + c/d + d/a kan aannemen als a b c d positieve getallen zijn.. de juistheid hoef je niet te bewijzen

graag reacties

heeeeeel erg bedankt

jullie zijn top

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 13 februari 2006 - 15:47

3
4

Helemaal geen uitleg is wat weinig.
Bekijk de uitdrukking a/b + b/c + c/a.
Deel teller en noemer door a, dat geeft
1 : (b/a) + (b/a) : (c/a) + (c/a) : 1
Schrijf nu x = a/b, y = c/a, dan is dus
a/b + b/c + c/a = x + 1/(xy) + y
Dus de vraag wordt: Minimaliseer H = x + 1/(xy) + y.
Beschouw y als constante.
Als H minimaal is, dan is H' = 0, dus 1 - 1/(y.x^2) = 0
Beschouw x als constante.
Als H minimaal is, dan is H' = 0, dus - 1/(x.y^2) + 1 = 0
Kortom x^2 = 1/y en y^2 = 1/x
Vermenigvuldig beide leden met elkaar
(xy)^2 = 1/(xy)
(xy)^3 = 1 dus xy=1
Dan is x^2=x en x = 1 en dus ook y=1
en dus is a = b en c = a
en dan is a/b + b/c + c/a = 3

#3

Ernie

    Ernie


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 februari 2006 - 16:21

Het "bewijs" volgt direct uit de ongelijkheid tussen rekenkundig gemiddelde en meetkundig gemiddelde.

#4

issie

    issie


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 februari 2006 - 18:15

en het bewijs voor het tweede deel :wink:
waar de uitkomst 4 is

heel erg bedankt peter

#5

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 13 februari 2006 - 20:15

c/a + a/c :roll: 2 (zie het andere topic).
Als a/b + b/c + c/d + d/a minimaal k is, dan is
(a/b + b/c + c/a) + (a/c + c/d + d/a) :P k+2
We weten al dat (a/b + b/c + c/a) + (a/c + c/d + d/a) minimaal 6 is,
dus k+2 :P 6, en k :P 4.
k = 4 als a = b = c = d.

#6

issie

    issie


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 februari 2006 - 21:35

thanx brother

you very helpfull :wink:

#7

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 14 februari 2006 - 10:08

c/a + a/c  :P 2 (zie het andere topic).
Als a/b + b/c + c/d + d/a minimaal k is, dan is
(a/b + b/c + c/a) + (a/c + c/d + d/a) :roll: k+2
We weten al dat (a/b + b/c + c/a) + (a/c + c/d + d/a) minimaal 6 is,
dus k+2 :P 6, en k :P 4.
k = 4 als a = b = c = d.


Dit noemt men wel een bewijs met volledige indoctrinatie.
Er klopt niets van.
De regel "dus k+2 :P 6, en k :P 4"
moet luiden "dus k+2 :P 6, en k :P 4" en je bent geen stap verder.

Even een echt bewijs. (Geen middelbare school stof)
De vraag is minimaliseer a/b + b/c + c/d + d/a.
Als x = a/b, y = b/c, z = c/d, dan kunnen x, y en z elke willekeurige positieve waarde aannemen. (b.v. voor elke keuze van x,y,z neem je d=1, dan is c=z, b=yz en a=xyz).
u = d/a is dan bepaald door de eis xyzu = 1.
Het probleem is dus ook als volgt te definieren:
Minimaliseer x + y + z + u als xyzu = 1.
Mijnheer Legendre heeft daarvoor het volgende slimme idee gevonden om dit probleem op te lossen: Je kunt simpel aantonen dat
Minimaliseer x + y + z + u als xyzu = 1
dezelfde uitkomst geeft als
Minimaliseer x + y + z + u + v(xyzu - 1).
DifferentiŽren naar x,y,z,u en v engelijkstellen aan 0 geeft:
naar v: xyzu = 1 (Dat is dus het oorspronkelijke gegeven).
naar x: 1 + vyzu = 0 (1)
naar y: 1 + vxzu = 0 (2)
naar z: 1 + vxyz = 0 (3)
naar u: 1 + vxyz = 0 (4)
Uit (1) volgt yzu = -1/v. Dat invullen in (0) geeft x = -v.
Uit (2) volgt dan net zo y = -v en uit (3) z = -v enz.
Dus x = y = z = u = 1. en x+y+z+u :P 4

#8

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 februari 2006 - 16:43

http://planetmath.or...Inequality.html

ik ben wel akkoord met wat er al staat, maar van zodra je zo symmetrische opgaven krijgt als deze en je moet iets maximaliseren, wil dat meestal zeggen : het beste is niet met afgeleiden, maar met een aantal beroemde ongelijkheden

als je op die link kijkt, zal je zien dat je meetkundig gemiddelde (allen vermenigvuldigen en hier derde machtswortel nemen) altijd minder is dan je rekenkundig gemiddelde, en het is hetzelfde als en slechts als al je waarden gelijk zijn


dus hier is LaTeX
er is gelijkheid als en slechts als LaTeX
dit is precies hetzelfde als a=b=c

het minimum is dus drie




Als je geinteresseerd bent, de echte ongelijkheid zegt :

minimum <= harmonisch gemiddelde<=meetkundig gemiddelde <= rekenkundig gemiddelde <= kwadratisch gemiddelde <=maximum

als al je waarden die je erin stopt gelijk zijn heb je uiteraard gelijkheid
is er een verschillend, dan worden alle ongelijkheden scherp (je moet wel met getallen strikt groter dan nul werken)

in het vlaams (maar voor de nederlanders?) onthouden we deze formule met
HaMeRKe : harmonisch meetkundig rekenkundig kwadratisch

#9

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 februari 2006 - 17:18

Is het niet simpeler om te berekenen waar de gradient gelijk is aan (0,0,0) of (0,0,0,0)? Of mag dat niet?

#10

Ernie

    Ernie


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 februari 2006 - 02:09

Niks is hier zo simpel als rekenkundige en meetkundige gemiddelden. Een regeltje, meer niet.

#11

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 15 februari 2006 - 18:05

als je op die link kijkt, zal je zien dat je meetkundig gemiddelde (allen vermenigvuldigen en hier derde machtswortel nemen) altijd minder is dan je rekenkundig gemiddelde, en het is hetzelfde als en slechts als al je waarden gelijk zijn

Probeer dat dan maar eens te bewijzen.
Als je dat niet kunt bewijzen ga je een stelling bewijzen met een stelling (die weliswaar correct is (evenals de te bewijzen stelling overigens)), maar die je eerst nog maar moet zien te bewijzen.
Ik kan anders ook wel zeggen: Dit probleem is triviaal want die stelling staat daar en daar op het internet.

#12

Ernie

    Ernie


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 februari 2006 - 20:03

Voor een verzameling X van positieve reŽle getallen definiŽren we AM(X) als het rekenkundig gemiddelde van de elementen van X, en GM(X) als het meetkundig gemiddelde van de elementen. Zij a het rekenkundig gemiddelde van de elementen van een verzameling S = {x[1], x[2], ..., x[n]} van positieve reŽle getallen. We mogen veronderstellen dat S minstens twee verschillende elementen bevat, omdat de ongelijkheid anders triviaal is. Er bestaan dus indices i en j zodat x[i] > a > x[j] . (Ga dat na.) Beschouw nu de verzameling S' die men bekomt door x[i] en x[j] te vervangen door a en x[i] + x[j] − a respectievelijk. Er geldt dat [GM(S')/GM(S)]^n = a(x[i] + x[j] − a)/(x[i]x[j]). (Ga dat na.) Omdat x[i] > a > x[j] is (x[i] − a) (a − x[j]) positief, zodat a(x[i] + x[j] − a) > x[i]x[j]. Bijgevolg is GM(S') > GM(S). We herhalen dit proces nu een aantal keren. De rij van meetkundige gemiddelden die we bekomen is een strikt stijgende rij: GM(S) < GM(S') < GM(SĒ) < ... . Echter, het rekenkundig gemiddelde blijft constant: AM(S) = AM(S') = AM(SĒ) = ... . Tenslotte bereiken we een verzameling waarvan alle elementen gelijk zijn aan a. (Waarom?) Het meetkundig gemiddelde van deze verzameling is ook gelijk aan a, en dit meetkundig gemiddelde is groter dan het oorspronkelijk meetkundig gemiddelde GMS. Bijgevolg a = AM(S) > GM(S), en we zijn klaar.

Alsjeblief, omdat je zo aandrong :roll:

#13

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 16 februari 2006 - 13:20

Ok, dat overtuigt. :wink:

#14

issie

    issie


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 februari 2006 - 17:13

hoi peter pan :roll:

ik wil ff trug komen op d voige topic over de kleinste waarde
ik snap niet hoe je op de functie x+1/(xy)+y komt
je neemt wel x=a/b en y=c/a
ik heb het geprobeerd aan leraar uit te leggen, maar hij zei dat er meer uitleg bij moet
graag reacties aub

toppie 8)

ps
waarom geldt dit:
Als H minimaal is, dan is H' = 0, dus 1 - 1/(y.x^2) = 0
Beschouw x als constante.
Als H minimaal is, dan is H' = 0, dus - 1/(x.y^2) + 1 = 0

thanx

#15

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 16 februari 2006 - 17:47

hoi peter pan :roll:  

ik wil ff trug komen op d voige topic over de kleinste waarde
ik snap niet hoe je op de functie x+1/(xy)+y komt
je neemt wel x=a/b en y=c/a
ik heb het geprobeerd aan leraar uit te leggen, maar hij zei dat er meer uitleg bij moet
graag reacties aub

toppie 8)

ps
waarom geldt dit:
Als H minimaal is, dan is H' = 0, dus 1 - 1/(y.x^2) = 0  
Beschouw x als constante.  
Als H minimaal is, dan is H' = 0, dus - 1/(x.y^2) + 1 = 0

thanx

Bekijk de uitdrukking a/b + b/c + c/a.
Deel alle tellers en noemers door a (daardoor veranderd de som niet!), dat geeft
LaTeX
en dat is
LaTeX

Schrijf nu x in plaats van a/b (dan is b/a=1/x), en y in plaats van c/a, dat geeft
LaTeX
Dus
LaTeX

LaTeX
Dit is een functie van 2 variabelen x en y.
Stel H(x,y) minimaal is als x=x0 en y=y0.
Nu zouden we graag willen weten wat x0 en y0 is.
Nu doe ik maar even net of ik y0 al gevonden heb.
Nu moet ik x0 zien te vinden.
LaTeX moet ik minimaliseren.
Als een functie minimaal is, dan is zijn afgeleide 0.
LaTeX
Dan is dus
LaTeX
Ik herhaal dit verhaal, maar nu doe ik maar even net of ik niet y0, maar x0 al gevonden heb.
LaTeX = enz.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures