deze opgave vind ik erg moeilijk:
Onderzoek wat de kleinste waarde is die a/b + b/c + c/a kan aannemen als a b c positieve getallen zijn.. de juistheid hoef je niet te bewijzen
Onderzoek wat de kleinste waarde is die a/b + b/c + c/d + d/a kan aannemen als a b c d positieve getallen zijn.. de juistheid hoef je niet te bewijzen
graag reacties
heeeeeel erg bedankt
jullie zijn top
Laatste berichten
-
21:15
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 4
-
20:18
Rood laserlicht 1
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
12:51
positie 2
-
10:44
Schroefdraad berekening 8
-
00:15
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
onderzoek kleinste waarde
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Re: onderzoek kleinste waarde
3
4
Helemaal geen uitleg is wat weinig.
Bekijk de uitdrukking a/b + b/c + c/a.
Deel teller en noemer door a, dat geeft
1 : (b/a) + (b/a) : (c/a) + (c/a) : 1
Schrijf nu x = a/b, y = c/a, dan is dus
a/b + b/c + c/a = x + 1/(xy) + y
Dus de vraag wordt: Minimaliseer H = x + 1/(xy) + y.
Beschouw y als constante.
Als H minimaal is, dan is H' = 0, dus 1 - 1/(y.x^2) = 0
Beschouw x als constante.
Als H minimaal is, dan is H' = 0, dus - 1/(x.y^2) + 1 = 0
Kortom x^2 = 1/y en y^2 = 1/x
Vermenigvuldig beide leden met elkaar
(xy)^2 = 1/(xy)
(xy)^3 = 1 dus xy=1
Dan is x^2=x en x = 1 en dus ook y=1
en dus is a = b en c = a
en dan is a/b + b/c + c/a = 3
4
Helemaal geen uitleg is wat weinig.
Bekijk de uitdrukking a/b + b/c + c/a.
Deel teller en noemer door a, dat geeft
1 : (b/a) + (b/a) : (c/a) + (c/a) : 1
Schrijf nu x = a/b, y = c/a, dan is dus
a/b + b/c + c/a = x + 1/(xy) + y
Dus de vraag wordt: Minimaliseer H = x + 1/(xy) + y.
Beschouw y als constante.
Als H minimaal is, dan is H' = 0, dus 1 - 1/(y.x^2) = 0
Beschouw x als constante.
Als H minimaal is, dan is H' = 0, dus - 1/(x.y^2) + 1 = 0
Kortom x^2 = 1/y en y^2 = 1/x
Vermenigvuldig beide leden met elkaar
(xy)^2 = 1/(xy)
(xy)^3 = 1 dus xy=1
Dan is x^2=x en x = 1 en dus ook y=1
en dus is a = b en c = a
en dan is a/b + b/c + c/a = 3
-
- Berichten: 179
Re: onderzoek kleinste waarde
Het "bewijs" volgt direct uit de ongelijkheid tussen rekenkundig gemiddelde en meetkundig gemiddelde.
-
- Berichten: 8
Re: onderzoek kleinste waarde
en het bewijs voor het tweede deel 
waar de uitkomst 4 is
heel erg bedankt peter
waar de uitkomst 4 is
heel erg bedankt peter
Re: onderzoek kleinste waarde
c/a + a/c 
2 (zie het andere topic).
Als a/b + b/c + c/d + d/a minimaal k is, dan is
(a/b + b/c + c/a) + (a/c + c/d + d/a)
k+2
We weten al dat (a/b + b/c + c/a) + (a/c + c/d + d/a) minimaal 6 is,
dus k+2 6, en k 4.
k = 4 als a = b = c = d.
2 (zie het andere topic).Als a/b + b/c + c/d + d/a minimaal k is, dan is
(a/b + b/c + c/a) + (a/c + c/d + d/a)
k+2We weten al dat (a/b + b/c + c/a) + (a/c + c/d + d/a) minimaal 6 is,
dus k+2
6, en k 4.k = 4 als a = b = c = d.
Re: onderzoek kleinste waarde
Dit noemt men wel een bewijs met volledige indoctrinatie.PeterPan schreef:c/a + a/c
Als a/b + b/c + c/d + d/a minimaal k is, dan is
(a/b + b/c + c/a) + (a/c + c/d + d/a)
We weten al dat (a/b + b/c + c/a) + (a/c + c/d + d/a) minimaal 6 is,
dus k+2
k = 4 als a = b = c = d.
Er klopt niets van.
De regel "dus k+2
6, en k 4"moet luiden "dus k+2
6, en k 4" en je bent geen stap verder.Even een echt bewijs. (Geen middelbare school stof)
De vraag is minimaliseer a/b + b/c + c/d + d/a.
Als x = a/b, y = b/c, z = c/d, dan kunnen x, y en z elke willekeurige positieve waarde aannemen. (b.v. voor elke keuze van x,y,z neem je d=1, dan is c=z, b=yz en a=xyz).
u = d/a is dan bepaald door de eis xyzu = 1.
Het probleem is dus ook als volgt te definieren:
Minimaliseer x + y + z + u als xyzu = 1.
Mijnheer Legendre heeft daarvoor het volgende slimme idee gevonden om dit probleem op te lossen: Je kunt simpel aantonen dat
Minimaliseer x + y + z + u als xyzu = 1
dezelfde uitkomst geeft als
Minimaliseer x + y + z + u + v(xyzu - 1).
Differentiëren naar x,y,z,u en v engelijkstellen aan 0 geeft:
naar v: xyzu = 1 (Dat is dus het oorspronkelijke gegeven).
naar x: 1 + vyzu = 0 (1)
naar y: 1 + vxzu = 0 (2)
naar z: 1 + vxyz = 0 (3)
naar u: 1 + vxyz = 0 (4)
Uit (1) volgt yzu = -1/v. Dat invullen in (0) geeft x = -v.
Uit (2) volgt dan net zo y = -v en uit (3) z = -v enz.
Dus x = y = z = u = 1. en x+y+z+u
4-
- Berichten: 792
Re: onderzoek kleinste waarde
http://planetmath.org/encyclopedia/Arithme...Inequality.html
ik ben wel akkoord met wat er al staat, maar van zodra je zo symmetrische opgaven krijgt als deze en je moet iets maximaliseren, wil dat meestal zeggen : het beste is niet met afgeleiden, maar met een aantal beroemde ongelijkheden
als je op die link kijkt, zal je zien dat je meetkundig gemiddelde (allen vermenigvuldigen en hier derde machtswortel nemen) altijd minder is dan je rekenkundig gemiddelde, en het is hetzelfde als en slechts als al je waarden gelijk zijn
dus hier is
het minimum is dus drie
Als je geinteresseerd bent, de echte ongelijkheid zegt :
minimum <= harmonisch gemiddelde<=meetkundig gemiddelde <= rekenkundig gemiddelde <= kwadratisch gemiddelde <=maximum
als al je waarden die je erin stopt gelijk zijn heb je uiteraard gelijkheid
is er een verschillend, dan worden alle ongelijkheden scherp (je moet wel met getallen strikt groter dan nul werken)
in het vlaams (maar voor de nederlanders?) onthouden we deze formule met
HaMeRKe : harmonisch meetkundig rekenkundig kwadratisch
ik ben wel akkoord met wat er al staat, maar van zodra je zo symmetrische opgaven krijgt als deze en je moet iets maximaliseren, wil dat meestal zeggen : het beste is niet met afgeleiden, maar met een aantal beroemde ongelijkheden
als je op die link kijkt, zal je zien dat je meetkundig gemiddelde (allen vermenigvuldigen en hier derde machtswortel nemen) altijd minder is dan je rekenkundig gemiddelde, en het is hetzelfde als en slechts als al je waarden gelijk zijn
dus hier is
\(\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}{3}\geq (\frac{a b c}{a b c})^{(\frac{1}{3})}=1\)
er is gelijkheid als en slechts als \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\)
dit is precies hetzelfde als a=b=chet minimum is dus drie
Als je geinteresseerd bent, de echte ongelijkheid zegt :
minimum <= harmonisch gemiddelde<=meetkundig gemiddelde <= rekenkundig gemiddelde <= kwadratisch gemiddelde <=maximum
als al je waarden die je erin stopt gelijk zijn heb je uiteraard gelijkheid
is er een verschillend, dan worden alle ongelijkheden scherp (je moet wel met getallen strikt groter dan nul werken)
in het vlaams (maar voor de nederlanders?) onthouden we deze formule met
HaMeRKe : harmonisch meetkundig rekenkundig kwadratisch
-
- Berichten: 7.068
Re: onderzoek kleinste waarde
Is het niet simpeler om te berekenen waar de gradient gelijk is aan (0,0,0) of (0,0,0,0)? Of mag dat niet?
-
- Berichten: 179
Re: onderzoek kleinste waarde
Niks is hier zo simpel als rekenkundige en meetkundige gemiddelden. Een regeltje, meer niet.
Re: onderzoek kleinste waarde
Probeer dat dan maar eens te bewijzen.als je op die link kijkt, zal je zien dat je meetkundig gemiddelde (allen vermenigvuldigen en hier derde machtswortel nemen) altijd minder is dan je rekenkundig gemiddelde, en het is hetzelfde als en slechts als al je waarden gelijk zijn
Als je dat niet kunt bewijzen ga je een stelling bewijzen met een stelling (die weliswaar correct is (evenals de te bewijzen stelling overigens)), maar die je eerst nog maar moet zien te bewijzen.
Ik kan anders ook wel zeggen: Dit probleem is triviaal want die stelling staat daar en daar op het internet.
-
- Berichten: 179
Re: onderzoek kleinste waarde
Voor een verzameling X van positieve reële getallen definiëren we AM(X) als het rekenkundig gemiddelde van de elementen van X, en GM(X) als het meetkundig gemiddelde van de elementen. Zij a het rekenkundig gemiddelde van de elementen van een verzameling S = {x[1], x[2], ..., x[n]} van positieve reële getallen. We mogen veronderstellen dat S minstens twee verschillende elementen bevat, omdat de ongelijkheid anders triviaal is. Er bestaan dus indices i en j zodat x > a > x[j] . (Ga dat na.) Beschouw nu de verzameling S' die men bekomt door x en x[j] te vervangen door a en x + x[j] − a respectievelijk. Er geldt dat [GM(S')/GM(S)]^n = a(x + x[j] − a)/(xx[j]). (Ga dat na.) Omdat x > a > x[j] is (x − a) (a − x[j]) positief, zodat a(x + x[j] − a) > xx[j]. Bijgevolg is GM(S') > GM(S). We herhalen dit proces nu een aantal keren. De rij van meetkundige gemiddelden die we bekomen is een strikt stijgende rij: GM(S) < GM(S') < GM(S) < ... . Echter, het rekenkundig gemiddelde blijft constant: AM(S) = AM(S') = AM(S) = ... . Tenslotte bereiken we een verzameling waarvan alle elementen gelijk zijn aan a. (Waarom?) Het meetkundig gemiddelde van deze verzameling is ook gelijk aan a, en dit meetkundig gemiddelde is groter dan het oorspronkelijk meetkundig gemiddelde GMS. Bijgevolg a = AM(S) > GM(S), en we zijn klaar.
Alsjeblief, omdat je zo aandrong
Alsjeblief, omdat je zo aandrong
-
- Berichten: 8
Re: onderzoek kleinste waarde
hoi peter pan
ik wil ff trug komen op d voige topic over de kleinste waarde
ik snap niet hoe je op de functie x+1/(xy)+y komt
je neemt wel x=a/b en y=c/a
ik heb het geprobeerd aan leraar uit te leggen, maar hij zei dat er meer uitleg bij moet
graag reacties aub
toppie 8)
ps
waarom geldt dit:
Als H minimaal is, dan is H' = 0, dus 1 - 1/(y.x^2) = 0
Beschouw x als constante.
Als H minimaal is, dan is H' = 0, dus - 1/(x.y^2) + 1 = 0
thanx
ik wil ff trug komen op d voige topic over de kleinste waarde
ik snap niet hoe je op de functie x+1/(xy)+y komt
je neemt wel x=a/b en y=c/a
ik heb het geprobeerd aan leraar uit te leggen, maar hij zei dat er meer uitleg bij moet
graag reacties aub
toppie 8)
ps
waarom geldt dit:
Als H minimaal is, dan is H' = 0, dus 1 - 1/(y.x^2) = 0
Beschouw x als constante.
Als H minimaal is, dan is H' = 0, dus - 1/(x.y^2) + 1 = 0
thanx
Re: onderzoek kleinste waarde
Bekijk de uitdrukking a/b + b/c + c/a.issie schreef:hoi peter pan
ik wil ff trug komen op d voige topic over de kleinste waarde
ik snap niet hoe je op de functie x+1/(xy)+y komt
je neemt wel x=a/b en y=c/a
ik heb het geprobeerd aan leraar uit te leggen, maar hij zei dat er meer uitleg bij moet
graag reacties aub
toppie 8)
ps
waarom geldt dit:
Als H minimaal is, dan is H' = 0, dus 1 - 1/(y.x^2) = 0
Beschouw x als constante.
Als H minimaal is, dan is H' = 0, dus - 1/(x.y^2) + 1 = 0
thanx
Deel alle tellers en noemers door a (daardoor veranderd de som niet!), dat geeft
\(\frac{(\frac{a}{a})}{(\frac{b}{a})} + \frac{(\frac{b}{a})}{(\frac{c}{a})} + \frac{(\frac{c}{a})}{(\frac{a}{a})}\)
en dat is \(\frac{1}{(\frac{b}{a})} + \frac{(\frac{b}{a})}{(\frac{c}{a})} + \frac{(\frac{c}{a})}{1}\)
Schrijf nu x in plaats van a/b (dan is b/a=1/x), en y in plaats van c/a, dat geeft\(\frac{1}{\frac{1}{x}} + \frac{\frac{1}{x}}{y} + y = x + \frac{1}{xy} + y\)
Dus\(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = x + \frac{1}{xy} + y\)
\(H(x,y) = x + \frac{1}{xy} + y\)
Dit is een functie van 2 variabelen x en y.Stel H(x,y) minimaal is als x=x0 en y=y0.
Nu zouden we graag willen weten wat x0 en y0 is.
Nu doe ik maar even net of ik y0 al gevonden heb.
Nu moet ik x0 zien te vinden.
\(H_{\nieuw}(x) = H(x,y_0) = x + \frac{1}{xy_0} + y_0\)
moet ik minimaliseren.Als een functie minimaal is, dan is zijn afgeleide 0.
\(H'_{\nieuw}(x) = \frac{d}{dx}(x + \frac{1}{xy_0} + y_0) = 1 - \frac{1}{y_0x^2}\)
Dan is dus \(H'_{\nieuw}(x_0) = 0 = 1 - \frac{1}{y_0x_0^2}\)
Ik herhaal dit verhaal, maar nu doe ik maar even net of ik niet y0, maar x0 al gevonden heb.\(H_{\nieuwer}(y)\)
= enz.