Springen naar inhoud

Meervoudige integratie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Anne B.

    Anne B.


  • >100 berichten
  • 232 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 februari 2006 - 18:54

Zoals de titel het al zegt, gaat mijn vraag over meervoudige integratie. Beschouwen we de volgende opgave: bereken de volgende integraal :roll: f(x, y, z)dV voor een gegeven gebied T. Stel T is het tetrahedron in het eerste octant, begrensd door de coördinaatvlakken en het vlak met vergelijking 2x+3y+z=6.
De volgorde van integratie maakt niet uit, ik heb geprobeerd eerst over x te integreren, maar ik weet absoluut niet of ik juist bezig ben: ik heb als grenzen van de integratie over x 0 en (6-3y-z)/2 genomen, dan krijg ik echter een lange uitkomst terwijl het in al mijn vorige oefeningen mooi uitkwam...

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 februari 2006 - 22:13

Hoe kun je een functie f(x,y,z) over dat volume integreren als die functie onbekend is?
Moet je misschien gewoon het volume bepalen, dus met f(x,y,z) = 1?

#3

Anne B.

    Anne B.


  • >100 berichten
  • 232 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 februari 2006 - 20:35

Ah oei sorry, f(x,y,z)=2x+3y is ook nog gegeven :roll:

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 februari 2006 - 21:05

Dat lijkt me al wat logischer...

Ik heb hier snel een op een papiertje een berekening gedaan en kom op 6 voor enkel het volume en 18 wanneer ik die functie integreer maar de kans op enkele foutjes is wel groot. Heb je er ook de oplossing van?

#5

Anne B.

    Anne B.


  • >100 berichten
  • 232 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 februari 2006 - 21:09

Hm, die 18 klopt, die 6 weet ik niet... Nog iets dat ik niet begrijp: is een meervoudige integraal bepalen niet sowieso gelijk aan het volume bepalen? Zoals dat in twee dimensies toch klopt voor een bepaalde integraal, dan bepaal je het oppervlak begrensd tussen twee functies, niet?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 februari 2006 - 21:13

Het is wat subtieler dan dat...

Met een enkelvoudige integraal kon je ook de oppervlakte onder een functie f(x) vinden. Je kon dit ook vinden door een dubbele integraal op te stellen (met de juiste grenzen, zodat je net die oppervlakte beschrijft) maar dan door de functie 1 te integreren. Immers, je gaat dan elk oppervlakte-elementje vermenigvuldigen met de 'hoogte' 1, zo krijg je ook de oppervlakte.

Eenzelfde analogie heb je bij 2- en 3-voudige integralen. Je kan met een dubbele integraal een volume bepalen onder f(x,y) maar je kan dit volume ook bepalen dmv een drievoudige integraal (grenzen laten lopen zodat je het volledige volume beschrijft) maar dan met de functiewaarde 1, om dezelfde reden als hierboven.

Als je ten slotte een willekeurige functie over een volume integreert, dan is de interpretatie niet meer gewoon het volume. Je vermenigvuldigt immers elk volume-elementje dan met een willekeurige functie en telt dat op.

#7

Anne B.

    Anne B.


  • >100 berichten
  • 232 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 februari 2006 - 21:19

Hmm, het is al iets duidelijker... En hoe kom je aan je grenzen bij de drievoudige integraal? Als je gewoon die integraal wil uitrekenen, dus niet het volume wil bepalen.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 februari 2006 - 21:25

Om op je oorspronkelijke vraag terug te komen, blijkbaar met antwoord 18 dus :wink:

Het gegeven vlak kun je herschrijven als LaTeX
In het xy-vlak starten we dus met LaTeX en laten deze steeds lopen tot aan het 'plafond' van ons volume, hier dus LaTeX .
Nu nemen we LaTeX en kijken tot waar y loopt. We vinden LaTeX . Dus, y loopt van 0 tot aan die grens.
Ten slotte moeten we x laten lopen van 0 tot aan het snijpunt van x met dat vlak, we nemen y en z gelijk aan 0 en vinden het snijpunt op LaTeX .

Dit levert de volgende integraal (we passen dus Fubini toe):

LaTeX

Ik neem aan dat je vooral moeite had met het opstellen van de integraal, het uitwerken kan je zelf eens nagaan. Merk opdat als je dus (2x+3y) gewoon vervangt door 1, dat je dan het ingesloten volume krijgt (en dat volgens mij dus op 6 uitkomt).

Achteraf gezien was het (rekening houdend met de functie) misschien handiger geweest om niet te beginnen met integreren naar z, maar een andere volgorde kan je ook zelf nog eens proberen (ik had alleen naar de vgl van het vlak gekeken en die lostte zich het eenvoudigst op naar z).

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 februari 2006 - 22:30

Alternatieve volgorde, waarbij er pas op het einde naar z geïntegreerd wordt.
Ga zelf na of je begrijpt hoe deze grenzen totstand kwamen.

LaTeX

#10

Anne B.

    Anne B.


  • >100 berichten
  • 232 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 februari 2006 - 22:50

Aaaah, nu snap ik het :D dat met dat nul laten worden was niet duidelijk, dankjewel!
En de tweede post, die grenzen begrijp ik ook :roll:

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 februari 2006 - 22:51

Aaaah, nu snap ik het  :D  dat met dat nul laten worden was niet duidelijk, dankjewel!
En de tweede post, die grenzen begrijp ik ook  :roll:

Geweldig :wink:





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures