Hallo,
Ik ben bezig met een onderzoek naar isochrone of tautochrone slingers. Nu heb ik het een en ander kunnen vinden, maar over het afleiden van de verschillende formules ben ik erg onzeker. Aan de ene kant moet het haast wel goed zijn, aan de andere kant ben ik bang dat ik iets vergeet. Zo makkelijk kan het toch niet bewezen worden dat een slinger die langs cycloidische wangen glijdt een isochrone slingertijd heeft?
Ik zou het echt ontzettend tof vinden als iemand er even naar wil kijken!
Zie: http://www.its-learning.com/data/388/232/b.../bosbranden.doc
Vanaf pagina 5 eigenlijk (1 tot en met 4 zijn niet echt lastig).
Hartstikke bedankt!
Laatste berichten
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
12:01
Gravity and gravitation 1
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
09:54
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 6
-
23:07
Rood laserlicht 2
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
[wiskunde] tautochroon probleem
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] tautochroon probleem
Ik heb het eerlijkgezegd maar diagonaal bekeken, of het volledig correct is kan ik dus niet zeggen maar het is zeker niet onmogelijk dat het 'zo kort' is. Je kan het op een A4'tje bewijzen.
Het is zelfs mogelijk om aan te tonen dat het precies een cycloïde moet zijn (zonder hier à priori van uit te gaan) als je als uitgangspunt neemt dat je een functie zoekt die onder invloed van de zwaartekracht een baan beschrijft waar isochronisme geldt (dit is wel wat moeilijker).
Het is zelfs mogelijk om aan te tonen dat het precies een cycloïde moet zijn (zonder hier à priori van uit te gaan) als je als uitgangspunt neemt dat je een functie zoekt die onder invloed van de zwaartekracht een baan beschrijft waar isochronisme geldt (dit is wel wat moeilijker).
-
- Berichten: 10
Re: [wiskunde] tautochroon probleem
Bedankt voor je reactie!
Ik probeer het stuk steeds verder uit te werken, zodat het een beetje begrijpelijk wordt voor mijn nveau. Ik bots eigenlijk steeds op hetzelfde. Op pagina 7 onderaan bijvoorbeeld bij tan phi = dy/dx = sin theta/(1-cos theta).
De afgeleide van y = rho (cos theta -1) moet wel sin theta zijn, maar volgens de rekenregels is dit uiteraard - sin theta (negatief). Iemand? Waar zit de fout?
Ik probeer het stuk steeds verder uit te werken, zodat het een beetje begrijpelijk wordt voor mijn nveau. Ik bots eigenlijk steeds op hetzelfde. Op pagina 7 onderaan bijvoorbeeld bij tan phi = dy/dx = sin theta/(1-cos theta).
De afgeleide van y = rho (cos theta -1) moet wel sin theta zijn, maar volgens de rekenregels is dit uiteraard - sin theta (negatief). Iemand? Waar zit de fout?
-
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] tautochroon probleem
Ik volg je probleem niet helemaal, bedoel je dit:
\(\left{ \begin{array}{l} x = \rho \left( {\theta - \sin \theta } \right) y = \rho \left( {\cos \theta - 1} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left{ \begin{array}{l} \frac{{dx}}{{d\theta }} = \rho \left( {1 - \cos \theta } \right) \frac{{dy}}{{d\theta }} = - \rho \sin \theta \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\frac{{dy}}{{d\theta }}}}{{\frac{{dx}}{{d\theta }}}} = \frac{{ - \rho \sin \theta }}{{\rho \left( {1 - \cos \theta } \right)}} = - \frac{{\sin \theta }}{{1 - \cos \theta }}\)
Dat lijkt me dus juist in je document.-
- Berichten: 10
Re: [wiskunde] tautochroon probleem
Dit was inderdaad mijn probleem. Sorry, onzorgvuldig gelezen.
Het stukje erna is me ook erg vaag. Ik snap wel dat het zo is, maar dat is natuurlijk niet genoeg.
sin theta = - ((1+cos theta)/2)^0,5
evenzo
cos theta = ((1-cos theta)/2)^0,5
Is hier een rekenregel voor? Of zie ik iets anders over het hoofd?
Echt tof dat je zo behulpzaam bent!
P.S. Voor die formules... is mathtype daar een geschikt programma voor?
Het stukje erna is me ook erg vaag. Ik snap wel dat het zo is, maar dat is natuurlijk niet genoeg.
sin theta = - ((1+cos theta)/2)^0,5
evenzo
cos theta = ((1-cos theta)/2)^0,5
Is hier een rekenregel voor? Of zie ik iets anders over het hoofd?
Echt tof dat je zo behulpzaam bent!
P.S. Voor die formules... is mathtype daar een geschikt programma voor?
-
- Berichten: 96
Re: [wiskunde] tautochroon probleem
Ik heb ook het document gelezen (intensief vanaf blz. 5) en het formulewerk en de resultaten lijken me allen correct. Diverse stappen zijn voor de gemiddelde lezer toch echt te snel/onduidelijk, een enkele uitdrukking is eenvoudiger te schrijven (zoals de booglengte) en de notatie is hier en daar wat slordig/wiskundig incorrect. Verder is het aan te bevelen symbolen te gebruiken als r (straal van cirkel die de cycloide maakt) en s (booglengte), omdat deze bij de lezer herkenning geven. Maar dat is puur voorkeur. En als x een functie van theta (bij je parametrisering) dit dan ook duidelijk maken: x = x(theta), etc.
-
- Berichten: 1.460
Re: [wiskunde] tautochroon probleem
Prima!P.S. Voor die formules... is mathtype daar een geschikt programma voor?
Probeerversie?
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>
-
- Berichten: 10
Re: [wiskunde] tautochroon probleem
Bedankt voor de tips dr. E. Noether. Ik zal ze in een later stadium zeker verwerken. Het leest inderdaad een stuk prettiger. Ik heb net nog even het een en ander aangepast, zodat de stappen wat minder groot zijn. Het is nog niet helemaal af, maar het is al laat, dus ik kan maar beter gaan slapen.
Een stuk of drie 'comments' geven aan waar ik nog problemen mee heb. Ik heb het gevoel dat ik een rekenregel mis, of dat ik gewoonweg met mijn wiskundekennis (6 Atheneum-niveau) bepaalde stappen niet kan maken. Het integreren van de wortel van een goniometrische formule... ik zou niet weten hoe dat moet, of waar ik dat zou kunnen vinden.
Zie (new & improved):
https://www.its-learning.com/data/388/232/H...2/Hoofdstuk.doc
Bij voorbaat weer hartelijk dank, ik stel het zeer op prijs!
@Math: ja, probeerversie. Hoorde ervan via een vriend, echt geweldig! Denk dat ik nooit meer iets anders wil gebruiken, dus misschien toch maar de echte aanschaffen... oei, wel duur zie ik nu: $99!
Een stuk of drie 'comments' geven aan waar ik nog problemen mee heb. Ik heb het gevoel dat ik een rekenregel mis, of dat ik gewoonweg met mijn wiskundekennis (6 Atheneum-niveau) bepaalde stappen niet kan maken. Het integreren van de wortel van een goniometrische formule... ik zou niet weten hoe dat moet, of waar ik dat zou kunnen vinden.
Zie (new & improved):
https://www.its-learning.com/data/388/232/H...2/Hoofdstuk.doc
Bij voorbaat weer hartelijk dank, ik stel het zeer op prijs!
@Math: ja, probeerversie. Hoorde ervan via een vriend, echt geweldig! Denk dat ik nooit meer iets anders wil gebruiken, dus misschien toch maar de echte aanschaffen... oei, wel duur zie ik nu: $99!
-
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] tautochroon probleem
Voor de integratie van die wortel met een cosinus in kan je prutsen met goniometrische formules of via een substitutie.
\(\begin{array}{l} \int {\sqrt {1 - \cos t} } dt \to 1 - \cos t = y^2 \Leftrightarrow t = \arccos \left( {1 - y^2 } \right) \Leftrightarrow dt = \frac{2}{{\sqrt {2 - y^2 } }}dy \Rightarrow \int {\sqrt {1 - \cos t} } dt = \int {\frac{{2y}}{{\sqrt {2 - y^2 } }}dy} = \int {\frac{1}{{\sqrt {2 - y^2 } }}dy^2 } = - \int {\left( {2 - y^2 } \right)^{ - 1/2} d\left( {2 - y^2 } \right)} = - 2\sqrt {2 - y^2 } + C \to - 2\sqrt {2 - \left( {1 - \cos t} \right)} + C = - 2\sqrt {1 + \cos t} + C \end{array}\)
-
- Berichten: 10
Re: [wiskunde] tautochroon probleem
Geweldig TD! Dit snap ik perfect! Ik heb de hele dag tijdens de oninteressante lessen maatschappijleer enzo geprobeerd door de (gegeven) primitieve te differentieren op een omgekeerde methode te komen, inderdaad met substituties, dmv (1-cos theta)*(1+cos theta). Zo ben ik op een redelijke uitleg gekomen, maar dit staat toch een stuk beter, en is makkelijker te begrijpen.
Ik heb helaas wel weer een vreemd probleem
Ik geloof niet dat ik voor goniometrie in de wieg ben gelegd. Ik kom er echt niet uit hoe ze hier aan komen:
)
Ik heb helaas wel weer een vreemd probleem
Ik geloof niet dat ik voor goniometrie in de wieg ben gelegd. Ik kom er echt niet uit hoe ze hier aan komen:\(\begin{array}{l} X=(lengte-4\rho) \cos \phi + \rho (\theta + \sin \theta)\end{array}\)
Ik heb zo onderhand echt alles geprobeerd. Waar leiden ze dit uit af? De versie van mijn vorige post (https://www.its-learning.com/data/388/232/Hoofdstuk.doc) is inmiddels geupdated, omdat er slordige fouten in zaten. (Nee, ik wil hiermee niet zeggen dat ze er nu niet meer in zitten )-
- Berichten: 10
Re: [wiskunde] tautochroon probleem
Opgelost! Eigenhandig!
*moet nog bekomen van de schrik dat het gewoon KLOPT!*
*moet nog bekomen van de schrik dat het gewoon KLOPT!*
