lijnintegraal

joren

Kan iemand mij uitleggen wat een lijnintegraal is? En hoe deze kan berekend worden?

Dank u

EvilBro

joren schreef:Kan iemand mij uitleggen wat een lijnintegraal is? En hoe deze kan berekend worden?

Dank u

Gegeven een functie \(f:\rr^2 \rightarrow \rr\) en een kromme \(k\) in \(\rr\) die wordt voorgesteld door \(\vec{x}(t) = (x_1(t), x_2(t))\), dan is de lijnintegraal:

\(\int_a^b f(\vec{x}(t)) | \frac{\partial \vec{x}}{\partial t}|dt\)

Met \(f(\vec{x}(t)) = 1\) kun je de lengte van het lijnstuk tussen a en b bepalen. Voorbeeld:

\(\vec{x}(t) = (\cos(t), \sin(t))\)

\(\frac{\partial \vec{x}}{\partial t} = (-\sin(t), \cos(t))\)

\(|\frac{\partial \vec{x}}{\partial t}| = \sqrt{\sin^2(t) + \cos^2(t)} = 1\)

Dus de omtrek van een cirkel is:

\(\int_{0}^{2\pi} dt = 2\pi\)

TD

Kan iemand mij uitleggen wat een lijnintegraal is? En hoe deze kan berekend worden?

Om te begrijpen wat het inhoudt kan je misschien best uitgaan van een fysisch voorbeeld.

Beschouw een deeltje dat zich onder invloed van een kracht F beweegt langsheen een kromme, wat is dan de arbeid verricht door deze kracht?

Het probleem herleidt zich wiskundig dan tot het integreren van de variabele kracht, over een gegeven kromme.

joren

Dus als ik het goed begrijpt is een lijnintegraal de integraal van een functie f(x) die in een assenstelsel gelijk loopt met een kromme k. Wat is dan het verschil met een gewone integraal van die functie?

Het voorbeeld waar bij ik de lijnintegraal voor nodig heb doet zich voor in de thermodynamica. Er staat "De verandering van een toestandsgrootheid A kan berekend worden als lijnintegraal van de infinitesimale verandering dA langsheen een willekeurig quasi-statische toestandsverandering tussen de toestanden 1 en 2 die het werkelijk proces begrenzen." Hoe kan je hier die lijnintegraal dan verklaren?

Want een integraal berekenen is toch de oppervlakte tussen de functie en de x-as berekenen (over een bepaald interval), en dit is dus overduidelijk afhankelijk van de gevolgde weg, terwijl een verandering van een toestandsgrootheid onafhankelijk is van de gevolgde weg, hoe komt dit dan? is dat een eigenschap van een lijnintegraal?

TD

Dus als ik het goed begrijpt is een lijnintegraal de integraal van een functie f(x) die in een assenstelsel gelijk loopt met een kromme k. Wat is dan het verschil met een gewone integraal van die functie?

Wie zegt iets over een assenstelsel? Het verschil is dat je integreert over een gegeven kromme.

Want een integraal berekenen is toch de oppervlakte tussen de functie en de x-as berekenen (over een bepaald interval), en dit is dus overduidelijk afhankelijk van de gevolgde weg, terwijl een verandering van een toestandsgrootheid onafhankelijk is van de gevolgde weg, hoe komt dit dan? is dat een eigenschap van een lijnintegraal?

De interpretatie die jij hier aanhaalt (oppervlakte tussen de grenzen, omsloten door de functie en de x-as) is die van de 'gewone integraal' \(\int f(x) dx\), dit is niet de interpretatie van een lijnintegraal.

joren

Hoe integreer je een functie dan over een gegeven kromme? Deze kromme kan dit een functie zijn?

En wat is dan de meetkundige betekenis van een lijnintegraal?

TD

Hoe integreer je een functie dan over een gegeven kromme? Deze kromme kan dit een functie zijn?

Ja, maar als je de kromme in parametervergelijking hebt dan heeft EvilBro je al een methode gegeven om een lijnintegraal te berekenen. Dit is ook hoe we in de praktijk lijnintegralen meestal bepalen, door parametrisatie.

En wat is dan de meetkundige betekenis van een lijnintegraal?

Als je als functie 1 neemt is de meetkundige betekenis de lengte van de kromme, zoals EvilBro al zei. Voor een willekeurige functie is dat afhankelijk van die functie, er is dan niet noodzakelijk een eenduidige meetkundige betekenis. Een fysische interpretatie heb ik je bij wijze van voorbeeld al gegeven.

joren

Ik denk dat ik de basis heb, dus ik zal er zelf proberen verder over na te denken om het volledig te begrijpen in mijn voorbeeld. Alvast bedankt.

TD

Succes ermee!

Marco van Woerden

@TD!: is het niet in feite zo dat je bij een lijnintegraal ook een oppervlakte berekent? Namelijk die tussen het xy-vlak en de kromme? Persoonlijk vind ik de wiskundige interpretatie lastig in te zien.

TD

@TD!: is het niet in feite zo dat je bij een lijnintegraal ook een oppervlakte berekent? Namelijk die tussen het xy-vlak en de kromme? Persoonlijk vind ik de wiskundige interpretatie lastig in te zien.

De lijnintegraal is toch niet noodzakelijk in een driedimensionale ruimte? Als je een lijnintegraal berekent langs een kromme die volledig in het xy-vlak gelegen is, welke oppervlakte zou dat dan zijn?

Marco van Woerden

Nee, dat is natuurlijk zo, maar ik probeer het me te visualiseren. Dat wil nog wel eens helpen met dit soort dingen. Stel: ik heb een kromme C in de R³, die wordt gegeven door de parametrisatie r(t). En ik heb ook een functie f(x,y,z). Wat bereken je dan als je de lijnintegraal

\( \int_C f(r(t))ds \)

uitrekent?

TD

Zoals ik al eerder zei is daar geen eenduidige interpretatie aan te geven, zoals oppervlakte voor een gewone integraal. Het hangt onder andere af van welke functie je integreert, als je er een fysische interpretatie aan zou willen geven.

Marco van Woerden

Hoe ik me het altijd voorstel is alsvolgt, corrigeer me als dit fout is: de functie f(x,y,z) leeft in de R⁴, terwijl door de parametrisatie gegeven kromme in de R³ kan leven (dat heb ik hierboven erbij vermeld). Wat men dan krijgt is dus het volgende:

\( f(r(t)) = f(r_x(t),r_y(t),r_z(t)) \)

In woorden geeft de functie f voor iedere t die je in de parametrisatie invult een waarde f terug. Nog anders gezegd: de kromme C die door de parametrisatie wordt gegeven, is de projectie van de vierdimensionale figuur die door de functie wordt verkregen op de R³.

\(f(r(t))\)

kan dus gezien worden als een 'hoogte' bij de integraal

\(\int_C f(r(t))ds\)

, waarbij telkens een infinitesimaal stukje ds wordt opgeschoven, zodat de waarde die door deze integraal wordt vertegenwoordigd de 'oppervlakte' (lastig voor te stellen in vier dimensies natuurlijk) onder f(r(t)) is.

Is dit correct?

evilbu

ik zou toch graag even willen duidelijk maken dat er twee soorten lijnintegralen over een kromme (of die nu in het vlak of in de driedimensionele ruimte ligt) zijn : die van scalaire velden en die van vectorvelden

dat zijn twee ingewikkelde termen voor gewoon : een functie in elk punt (voor het eerste) een vector in ieder punt( voor het tweede)

de fysische interpretatie van het eerste zou kunnen zijn : ik geef je in elk punt van een koord de massa per lengte verhouding, hoe zwaar is het koord?

het tweede zou kunnen zijn : stel je hebt een krachtveld dat niet veranderd met de tijd

een deeltje beweegt door de kromme volgens de parametrisatie, welke arbeid wordt erop uitgeoefend?

Anderen zullen dit veel duidelijker kunnen uitleggen, maar ik ben er vrij zeker van dat je echt TWEE soorten lijnintegralen hebt

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

lijnintegraal

lijnintegraal

Re: lijnintegraal

Re: lijnintegraal

Re: lijnintegraal

Re: lijnintegraal

Re: lijnintegraal

Re: lijnintegraal

Re: lijnintegraal

Re: lijnintegraal

Re: lijnintegraal

Re: lijnintegraal

Re: lijnintegraal

Re: lijnintegraal

Re: lijnintegraal

Re: lijnintegraal