Je overvalt me wel met je vraag en gelukkig heb ik die notities nog niet weggegooid.
Ik ga uit van f:
\(f(x)=\frac{\tan^4x-\cot^4x}{4}+2(\tan^2x-\cot^2x)+6\ln(\tan x)\)
\(f'(x)=\frac{1}{4}(4\tan^3x(1+\tan^2x)-4\cot^3x(-1-\cot^2x))+2(2\tan x(1+\tan^2x)-2\cot x(-1-\cot^2x))+6\frac{1}{\tan x}(1+\tan^2x)\)
\(f'(x)=\tan^3x(1+\tan^2x)+4\tan x(1+\tan^2x)+\cot^3x(1+\cot^2x)+4\cot x(1+\cot^2x)+\frac{6}{\tan x}(1+\tan^2x)\)
\(f'(x)=\tan x(1+\tan^2x)(\tan^2x+4)+\cot x(1+\cot^2x)(\cot x(\cot^2x+4)+\frac{6}{\tan x}(1+\tan^2x)\)
Je ziet, ik probeer de 'symmetrie' te behouden en ga nu over op sin en cos.
Hierbij heb ik sin²x+cos²x=1 herhaalde malen gebruikt.
\(f'(x)=\frac{\sin x}{\cos x}.\frac{1}{\cos^2x}.\frac{1+3\cos^2x}{\cos^2x}+\frac{\cos x}{\sin x}.\frac{1}{\sin^2x}.\frac{1+3\sin^2x}{\sin^2x}+6\frac{\cos x}{\sin x}.\frac{1}{\cos^2x}\)
Nu alles onder dezelfde noemer brengen
\(f'(x)=\frac{\sin^6x(1+3\cos^2x)+\cos^6x(1+3\sin^2x)+6\sin^4x\cos^4 x}{\sin^5x\cos^5x}\)
De derde term in de teller verdelen we in 3...+3... en halen sin^4x en cos^4x buiten haakjes.
\(f'(x)=\frac{\sin^4x(\sin^2x(1+3\cos^2x)+3\cos^4x)+\cos^4x(\cos^2x(1+3\sin^2x)+3\sin^4x)}{sin^5x\cos^5x}\)
Nu is:
\(\sin^2x(1+3\cos^2x)=(1-\cos^2x)(1+3\cos^2x)=1+2\cos^2x-3\cos^4x\) en in de volgende term iets soortgelijks geeft
\(f'(x)=\frac{\sin^4x(1+2\cos^2x)+\cos^4x(1+2\sin^2x)}{\sin^5x\cos^5x}\)
Hier zal je in deze stap iets zelf moeten doen.
\(f'(x)=\frac{\sin^4x+\cos^4x+2\sin^2x\cos^2x}{\sin^5x\cos^5x}\)
\(f'(x)=\frac{(\sin^2x+\cos^2x)^2}{\sin^5x\cos^5x}\)
\(f'(x)=\frac{1}{\sin^5x\cos^5x}\)
