Er rijden regelmatig autos te hard op polderwegen en uit snelheidsmetingen is gebleken dat de gem. snelheid in de ochtendspits: 93 km/h bedraagt met een standaardafwijking van 9,8.
Door middel van artikelen in de lokale kranten, posters en huis-aan-huis verspreide informatiefolders voert de gemeente een campagne. De gemeente wil nagaan of het helpt en laat na een tijdje tijdens de ochtendsspits een steekproef nemen op de weg met als volgende snelheiden in km/h: 93, 83, 82, 101, 85, 76, 88, 75, 91, 79, 82, 69.
1) Bereken de gemiddelde snelheid van deze steekproef. (Beiden in 1 decimaal nauwkeurig.)
Snap ik even niet, hoezo beiden?
2) De gemeente wil weten of de campagne effect heeft gehad. De gemeente laat jou, als wiskundige, de resultaten toetsen. Stel een voor de gemeente zinvolle toets op.
3) Neem significantieniveau van 0,10. Welke conclusie zal de gemeente op basis van de steekproef trekken?
Laatste berichten
-
23:25
2013 – Augustus Vraag 3
-
23:07
Rood laserlicht 2
-
23:04
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 5
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
12:51
positie 2
-
10:44
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
[Wiskunde] snelheid steekproef toetsen
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 336
Re: [Wiskunde] snelheid steekproef toetsen
Misschien wilde ze je ook vragen de standaard deviatie uit te rekenen. Samen met het gemiddelde is dat beiden...
Duct tape is like the force: it has a dark side, a light side and it holds the universe together.
-
- Berichten: 45
Re: [Wiskunde] snelheid steekproef toetsen
Hoe moet ik de vragen beantwoorden, is dit binomiaal of normal?
Snap er niet veel van... wie kan me op weg helpen?
Snap er niet veel van... wie kan me op weg helpen?
-
- Berichten: 336
Re: [Wiskunde] snelheid steekproef toetsen
binomial lijkt me onlogisch aangezien we hier een continue stochast proberen te bescrijven(snelheid kan meer waardes aannemen dan 0 of 1...)
Normaal lijkt me wel geschikt. Om te beginnen neemt bijna iedereen een normale kansverdeling aan als hij zelfs niets beter kan bedenken. Verder is de gemiddelde snelheid een optelling van gelijk verdeelde stochasten. Er is een stelling die zegt dat wanneer je maar een gemiddelde neemt over genoeg stochasten die gelijk verdeeld zijn, dan is de verdeling van het gemiddelde uiteindelijk niet meer te onderscheiden van een normale verdeling. Dus ja een normale verdeling om het gemiddelde te beschrijven lijkt me wel gepast.
Normaal lijkt me wel geschikt. Om te beginnen neemt bijna iedereen een normale kansverdeling aan als hij zelfs niets beter kan bedenken. Verder is de gemiddelde snelheid een optelling van gelijk verdeelde stochasten. Er is een stelling die zegt dat wanneer je maar een gemiddelde neemt over genoeg stochasten die gelijk verdeeld zijn, dan is de verdeling van het gemiddelde uiteindelijk niet meer te onderscheiden van een normale verdeling. Dus ja een normale verdeling om het gemiddelde te beschrijven lijkt me wel gepast.
Duct tape is like the force: it has a dark side, a light side and it holds the universe together.
-
- Berichten: 4.161
Re: [Wiskunde] snelheid steekproef toetsen
Wat Sirus zegt. Zowiezo heb je op de middelbare school maar twee typen te leren, dat is een normale en binomiale verdeling. Een binomiale verdeling is alleen voor experimenten waar maar twee uitslagen voor zijn, dus bijvoorbeeld kop of munt.
1) Tja beiden snap ik ook niet helemaal, dus ik weet niet precies wat je daar uit moet krijgen. Ik neem aan dat je gemiddelde (mu) en je standaarddeviatie (sigma) moet uitrekenen omdat je die later toch weer nodig hebt.
Je gemiddelde is alles bij elkaar optellen en delen door het aantal metingen. Hier is dat 83 en twee derde.
Je standaard deviatie is als volgt te berekenen:
-Bereken het gemiddelde
-Kijk hoeveel elke waarde afwijkt van dat gemiddelde (in het eerste geval dus 93-83.667= 9,33.
-Die waardes kwadrateer je allemaal, omdat je soms een positieve waarde hebt en soms een negatieve waarde, om toch een zinnig antwoord te krijgen (want stel je voor dat de eerste waarde 2 afwijkt en de tweede -2 zou dat een standaard deviatie van 0 opleveren en dat is natuurlijk niet waar). Het kwadrateren van alles lever weer alleen maar positieve antwoorden op.
-Al deze gekwadrateerde getallen vermenigvuldig je met de kans die je had op die waarde. Dus als je elke twaalf afwijkingen los van elkaar berekent dan doe je de gekwadrateerde verschillen met het gemiddelde keer 1/12 (snap je het nog?
).
-Al deze uitkomsten tel je bij elkaar op en dan krijg je de VARIANTIE van dit alles.
-De standaarddeviatie is de wortel van de variantie. Dus neem er nog de wortel van en je hebt je uitkomst.
Dus voor het eerste getal: \(\sqrt{(93-83\frac{2}{3})^{2} \times \frac{1}{12}} \)
(Je kan het ook door je Grafische rekenmachine laten doen, en dat ga ik ook nu doen voor de rest, maar nu weet je tenminste waar je mee bezig bent.
Je SD is nu 8.36
2) Ok wat je nu moet doen is vrij lastig, je zult een goede toets moeten maken. Er zijn bij een toets altijd twee opties, je zogenaamde H0 hypothese en je H1 hypothese. Je toetst de waarheid van je H0 hypothese en als deze verworpen dient te worden dan gebruik je je H1 hypothese. Of je H0 hypothese verworpen moet worden hangt natuurlijk af van je steekproef. Het is de bedoeling (en hier wordt het lastig) dat je je H0 hypothese zo kiest dat het ten onrechte verwerpen van je H0 hypothese een ernstigere fout is dan het ten onrechte handhaven.
In dit geval gaat het erom of de overheids campagne geholpen heeft of niet. Ik zou zeggen, maar dat is een kwestie van smaak volgens mij dat het erger is om te denken dat de campagne niet geholpen heeft terwijl hij dat wel heeft gedaan, want dan zou je een heftigere campagne moeten maken, en misschien red dat extra levens. (uiteraard kost deze optie wel het meest, maar ik denk dat de veiligheid het belangrijkste is)
H0 is dus Ja de overheidscampagne heeft gewerkt
H1 nee hij heeft niet gewerkt.
Dan zul je met deze gegevens een zogenaamde Z-toets moeten gaan doen. Hierin kijk je of het toeval is dat het lijkt of er minder auto's te hard rijden, of dat er echt sprake is van een significante mindering in snelheid.
Tot slot moet je hierbij dan nog een overschrijdingskans geven. Dit is eigenlijk een waarde die verteld hoe streng je kijkt, of je vrij snel overtuigd bent van toeval of dat je vrij snel denkt dat het echt een mindering is. Deze kans wordt in 3 gegeven.
Ik moet zo weg, dus ik kan 3 nog even niet voor je oplossen, maar misschien doet iemand anders dat, anders doe ik het vandaag of morgen.
Het is allemaal wat gehaast opgeschreven, ik hoop dat het duidelijk is en foutloos. Hypotheses zijn altijd lastig.
1) Tja beiden snap ik ook niet helemaal, dus ik weet niet precies wat je daar uit moet krijgen. Ik neem aan dat je gemiddelde (mu) en je standaarddeviatie (sigma) moet uitrekenen omdat je die later toch weer nodig hebt.
Je gemiddelde is alles bij elkaar optellen en delen door het aantal metingen. Hier is dat 83 en twee derde.
Je standaard deviatie is als volgt te berekenen:
-Bereken het gemiddelde
-Kijk hoeveel elke waarde afwijkt van dat gemiddelde (in het eerste geval dus 93-83.667= 9,33.
-Die waardes kwadrateer je allemaal, omdat je soms een positieve waarde hebt en soms een negatieve waarde, om toch een zinnig antwoord te krijgen (want stel je voor dat de eerste waarde 2 afwijkt en de tweede -2 zou dat een standaard deviatie van 0 opleveren en dat is natuurlijk niet waar). Het kwadrateren van alles lever weer alleen maar positieve antwoorden op.
-Al deze gekwadrateerde getallen vermenigvuldig je met de kans die je had op die waarde. Dus als je elke twaalf afwijkingen los van elkaar berekent dan doe je de gekwadrateerde verschillen met het gemiddelde keer 1/12 (snap je het nog?
).-Al deze uitkomsten tel je bij elkaar op en dan krijg je de VARIANTIE van dit alles.
-De standaarddeviatie is de wortel van de variantie. Dus neem er nog de wortel van en je hebt je uitkomst.
Dus voor het eerste getal: \(\sqrt{(93-83\frac{2}{3})^{2} \times \frac{1}{12}} \)
(Je kan het ook door je Grafische rekenmachine laten doen, en dat ga ik ook nu doen voor de rest, maar nu weet je tenminste waar je mee bezig bent.
Je SD is nu 8.36
2) Ok wat je nu moet doen is vrij lastig, je zult een goede toets moeten maken. Er zijn bij een toets altijd twee opties, je zogenaamde H0 hypothese en je H1 hypothese. Je toetst de waarheid van je H0 hypothese en als deze verworpen dient te worden dan gebruik je je H1 hypothese. Of je H0 hypothese verworpen moet worden hangt natuurlijk af van je steekproef. Het is de bedoeling (en hier wordt het lastig) dat je je H0 hypothese zo kiest dat het ten onrechte verwerpen van je H0 hypothese een ernstigere fout is dan het ten onrechte handhaven.
In dit geval gaat het erom of de overheids campagne geholpen heeft of niet. Ik zou zeggen, maar dat is een kwestie van smaak volgens mij dat het erger is om te denken dat de campagne niet geholpen heeft terwijl hij dat wel heeft gedaan, want dan zou je een heftigere campagne moeten maken, en misschien red dat extra levens. (uiteraard kost deze optie wel het meest, maar ik denk dat de veiligheid het belangrijkste is)
H0 is dus Ja de overheidscampagne heeft gewerkt
H1 nee hij heeft niet gewerkt.
Dan zul je met deze gegevens een zogenaamde Z-toets moeten gaan doen. Hierin kijk je of het toeval is dat het lijkt of er minder auto's te hard rijden, of dat er echt sprake is van een significante mindering in snelheid.
Tot slot moet je hierbij dan nog een overschrijdingskans geven. Dit is eigenlijk een waarde die verteld hoe streng je kijkt, of je vrij snel overtuigd bent van toeval of dat je vrij snel denkt dat het echt een mindering is. Deze kans wordt in 3 gegeven.
Ik moet zo weg, dus ik kan 3 nog even niet voor je oplossen, maar misschien doet iemand anders dat, anders doe ik het vandaag of morgen.
Het is allemaal wat gehaast opgeschreven, ik hoop dat het duidelijk is en foutloos. Hypotheses zijn altijd lastig.
De tekst in het hierboven geschreven stukje kan fouten bevatten in: argumentatie, grammatica, spelling, stijl, biologische of scheikundige of natuurkundige of wiskundige feiten kennis. Hiervoor bied StrangeQuark bij voorbaat zijn excuses aan.
-
- Berichten: 45
Re: [Wiskunde] snelheid steekproef toetsen
Ok.. het gaat dus om een normale verdeling, maar klopt het dat bij vraag 2 om een binomiale verdeling gaat (of heeft H0 en H1 niks met binom te maken)?
1) Volgens mij is het heel logisch van jullie dat mu en sigma beiden betekend.
Ik probeer het te volgen met mijn GRM.
Heb alles ingevoerd in L1 -> 1-Var Stats met volgende uitkomsten:
- gemiddelde = 83 2/3 = 83,7 (op 1 decimale)
- SD = 8,36 (als ik jouw antwoord volg is dat 5e van boven - staat dus boven n=12) = 8,4 (op 1 decimale)
Ik zie echter ook nog een Sx staan, is dit geen SD waarde?
2 en 3 begrijp ik helemaal niet. Wat is nou een zinvolle toets? En bij 3 moet er geloof ik zo'n antwoord komen als H0 wel of niet verwerpen ofzoiets...
1) Volgens mij is het heel logisch van jullie dat mu en sigma beiden betekend.
Ik probeer het te volgen met mijn GRM.
Heb alles ingevoerd in L1 -> 1-Var Stats met volgende uitkomsten:
- gemiddelde = 83 2/3 = 83,7 (op 1 decimale)
- SD = 8,36 (als ik jouw antwoord volg is dat 5e van boven - staat dus boven n=12) = 8,4 (op 1 decimale)
Ik zie echter ook nog een Sx staan, is dit geen SD waarde?
2 en 3 begrijp ik helemaal niet. Wat is nou een zinvolle toets? En bij 3 moet er geloof ik zo'n antwoord komen als H0 wel of niet verwerpen ofzoiets...
-
- Berichten: 4.161
Re: [Wiskunde] snelheid steekproef toetsen
In je GR moet je het antwoord achter je sigma hebben. En ik heb het ook op deze manier gedaan, het is denk ik wel belangrijk wat je aan het doen bent en wat SD eigenlijk zegt. Wat Sx is weet ik niet precies.
H0 en H1 heeft niets met binomiaal of normaal te maken, dat is gewoon je eerste hypothese en je alternatieve hypothese. Als je eerste hypothese fout blijkt te zijn verwerp je hem en neem je de alternatieve hypothese aan.
Kijk wat jij met je zinvolle toets moet aantonen is of het toeval is dat nu je gemiddelde lager uitvalt of dat het echt een flink verschil is. Stel je voor dat je 1 meting zou doen van een auto die 77 km/h rijd. Dan is dat niet echt een sygnificant verschil te noemen, immers de kans dat er net 1 auto toevallig langzamer rijd terwij deze niet de reclame campagne gezien heeft is best aanwezig. Echter als je nou 1000 auto's zou meten die gemiddeld 60 km/h gaan (extreem voorbeeld) dan moet je haast wel zeggen dat een hoop auto's langzamer aan het rijden zijn en dat de campagne waarschijnlijk gewerkt heeft. Je moet met je toets dus gaan kijken of iets toeval is of niet.
Heb je in jouw boek de Z-toets staan, die iets zegt over de significantie (dus of het toeval is of niet)?
H0 en H1 heeft niets met binomiaal of normaal te maken, dat is gewoon je eerste hypothese en je alternatieve hypothese. Als je eerste hypothese fout blijkt te zijn verwerp je hem en neem je de alternatieve hypothese aan.
Kijk wat jij met je zinvolle toets moet aantonen is of het toeval is dat nu je gemiddelde lager uitvalt of dat het echt een flink verschil is. Stel je voor dat je 1 meting zou doen van een auto die 77 km/h rijd. Dan is dat niet echt een sygnificant verschil te noemen, immers de kans dat er net 1 auto toevallig langzamer rijd terwij deze niet de reclame campagne gezien heeft is best aanwezig. Echter als je nou 1000 auto's zou meten die gemiddeld 60 km/h gaan (extreem voorbeeld) dan moet je haast wel zeggen dat een hoop auto's langzamer aan het rijden zijn en dat de campagne waarschijnlijk gewerkt heeft. Je moet met je toets dus gaan kijken of iets toeval is of niet.
Heb je in jouw boek de Z-toets staan, die iets zegt over de significantie (dus of het toeval is of niet)?
De tekst in het hierboven geschreven stukje kan fouten bevatten in: argumentatie, grammatica, spelling, stijl, biologische of scheikundige of natuurkundige of wiskundige feiten kennis. Hiervoor bied StrangeQuark bij voorbaat zijn excuses aan.
-
- Berichten: 45
Re: [Wiskunde] snelheid steekproef toetsen
Gemiddelde is dus 83,7 km/h met standaarddeviatie 8,4.
Is standaarddeviatie trouwens hetzelfde als standaardafwijking?
De z-toets voor gemiddelde gaat over een populatie die normaal verdeeld is met gemiddelde en standaardafwijking. De waarde van de standaardafwijking is bekend.
Dus nu moet ik een H0 en H1 opstellen zoiets als:
H0: gemiddelde = 83,7 km/h
H1: gemiddelde < 83,7 km/h
Maar wat zal jij als toets kunnen opstellen?
Is standaarddeviatie trouwens hetzelfde als standaardafwijking?
De z-toets voor gemiddelde gaat over een populatie die normaal verdeeld is met gemiddelde en standaardafwijking. De waarde van de standaardafwijking is bekend.
Dus nu moet ik een H0 en H1 opstellen zoiets als:
H0: gemiddelde = 83,7 km/h
H1: gemiddelde < 83,7 km/h
Maar wat zal jij als toets kunnen opstellen?
-
- Berichten: 45
Re: [Wiskunde] snelheid steekproef toetsen
Niemand die me op weg kan helpen met de vragen 2 en 3 ?
?-
- Berichten: 96
Re: [Wiskunde] snelheid steekproef toetsen
Nou vooruit dan, Jimmy, komt ie. Stel de rijsnelheid voor door de stochast \( X \). Gegeven is dat \( X \sim N(\mu,\sigma^2) \) met \( \mu = 93 \) en \( \sigma^2 = 9.8^2 = 96.04 \). We zeggen dat de campagne effect heeft gehad als de gemiddelde rijsnelheid \( \mu \) kleiner is geworden. Je hebt een steekproef gedaan door van 12 auto's de rijsnelheid te meten. Voor de data vinden we dat de gemiddelde rijsnelheid is:
\( x_{gem} = \) (93 + 83 + 82 + 101 + 85 + 76 + 88 + 75 + 91 + 79 + 82 + 69)/12 = 248/3 = 83,7 km/h.
Nu stel je de (eenzijdige) toets op:
\( H_0 : \mu \) = 93 .......dat is: de gemiddelde rijsnelheid is niet veranderd door de campagne;
\( H_1 : \mu \) < 93 .......dat is: de gemiddelde rijsnelheid is door de campagne omlaag gegaan.
We nemen aan dat \( H_0 \) waar is, we gaan er dus van uit dat \( X \) normaal verdeeld is volgens \( X \sim N(93,9.8^2) \). Je kijkt vervolgens naar de kans dat \( P(X \leq x_{gem}) = P(X \leq 83.7) \). Als deze kans kleiner is dan het significantieniveau \( \alpha \) = 0,10, dan spreken we van een uitzonderlijke situatie en verwerpen we \( H_0 \) ten gunste van \( H_1 \); het is in dat geval meest waarschijnlijk dat de gemiddelde rijsnelheid \( \mu \) wel kleiner is geworden. Welnu, definieer \( Z := (X-\mu)/\sigma \). Als \( X \sim N(\mu,\sigma^2) \) dan is \( Z \sim N(0,1) \), d.w.z. \( Z \) is standaardnormaal verdeeld, zodat:
\( x_{gem} = \) (93 + 83 + 82 + 101 + 85 + 76 + 88 + 75 + 91 + 79 + 82 + 69)/12 = 248/3 = 83,7 km/h.
Nu stel je de (eenzijdige) toets op:
\( H_0 : \mu \) = 93 .......dat is: de gemiddelde rijsnelheid is niet veranderd door de campagne;
\( H_1 : \mu \) < 93 .......dat is: de gemiddelde rijsnelheid is door de campagne omlaag gegaan.
We nemen aan dat \( H_0 \) waar is, we gaan er dus van uit dat \( X \) normaal verdeeld is volgens \( X \sim N(93,9.8^2) \). Je kijkt vervolgens naar de kans dat \( P(X \leq x_{gem}) = P(X \leq 83.7) \). Als deze kans kleiner is dan het significantieniveau \( \alpha \) = 0,10, dan spreken we van een uitzonderlijke situatie en verwerpen we \( H_0 \) ten gunste van \( H_1 \); het is in dat geval meest waarschijnlijk dat de gemiddelde rijsnelheid \( \mu \) wel kleiner is geworden. Welnu, definieer \( Z := (X-\mu)/\sigma \). Als \( X \sim N(\mu,\sigma^2) \) dan is \( Z \sim N(0,1) \), d.w.z. \( Z \) is standaardnormaal verdeeld, zodat:
\( P(X \leq x_{gem}) = P(X - \mu \leq x_{gem} - \mu) = P \left(\frac{X - \mu}{\sigma} \leq \frac{x_{gem} - \mu}{\sigma} \right) = P \left(Z \leq \frac{83.7-93}{9.8}\right) = \)
\( = P(Z \leq -0.95) = P(Z \geq 0.95) = 0.1711, \)
volgens de tabel met rechterstaartkansen van een standaardnormale verdeling. Omdat \( P(X \leq 83.7) \) = 0.1711 > 0.10 = \( \alpha \), behouden we dus \( H_0 \), dat wil zeggen: de campagne heeft geen effect gehad. Je kan natuurlijk ook werken met GR (maar daar heb ik geen verstand van).-
- Berichten: 45
Re: [Wiskunde] snelheid steekproef toetsen
Hmm.. jah... volgens mij heb ik het wel door, maar begrijp het nog niet zo goed.
Waarom pak je \( \mu = 93 \) en niet \( \mu = 83,7 \) voor de toets? Of staat dit los van de steekproef voorafgaand aan de vraag?
Even terugkerend naar de 1e vraag:
We zeiden dat dat (post 19:21 14 maart):
Maar als ik dat invoer en als List output met mijn GRM staat er:
Sx is standaardafwijking van x voor de steekproef
Welke van de 2 moet ik nu gebruiken voor vraag 1?
Overigens als ik op mijn GRM > LIST > MATH > stdDev(L1) apart invoer krijg ik als antwoord: 8,73.
Waarom pak je \( \mu = 93 \) en niet \( \mu = 83,7 \) voor de toets? Of staat dit los van de steekproef voorafgaand aan de vraag?
Is \( X \sim N(93,9.8^2) \) hetzelfde als X is norm(...)-verdeeld? En waarom doe je die 9.8 in het kwadraat?We nemen aan dat \( H_0 \) waar is, we gaan er dus van uit dat \( X \) normaal verdeeld is volgens \( X \sim N(93,9.8^2) \).
Even terugkerend naar de 1e vraag:
We hadden toen berekend dat dat1) Bereken de gemiddelde snelheid van deze steekproef. (Beiden in 1 decimaal nauwkeurig.)
\(\sigma\)
= standaarddeviatie of standaardafwijking zou moeten zijn en dat was: We zeiden dat dat (post 19:21 14 maart):
Je SD is nu 8.36
Maar als ik dat invoer en als List output met mijn GRM staat er:
\(Sx = 8,73\)
\(\sigma x = 8,36\)
In handleiding opgezocht wat beide tekens betekende en het is:Sx is standaardafwijking van x voor de steekproef
\(\sigma x\)
is standaardafwijking van x voor de populatie.Welke van de 2 moet ik nu gebruiken voor vraag 1?
Overigens als ik op mijn GRM > LIST > MATH > stdDev(L1) apart invoer krijg ik als antwoord: 8,73.
-
- Berichten: 45
Re: [Wiskunde] snelheid steekproef toetsen
Volgens mij @dr. E. Noether ben je de wortel N-wet vergeten!
-
- Berichten: 96
Re: [Wiskunde] snelheid steekproef toetsen
Hoi, Jimmy. De meest voor de hand liggende toets is om na te gaan of onder invloed van de campagne de gemiddelde rijsnelheid omlaag is gegaan. Dit kun je mooi samenvatten in de toets: \( H_0: \mu = 93 \) vs. \( H_1: \mu < 93 \) . Je gaat er in eerste instantie vanuit dat de gemiddelde rijsnelheid echt \( \mu = 93 \) km/uur is; je hebt vooralsnog geen reden om daaraan te twijfelen. Met deze waarde voor \( \mu \) (en met de standaarddeviatie \( \sigma = 9.8 \) !! dit komt niet voor in je toets en onder \( H_0 \) neem je deze waarde gewoon aan voor waar) zul je dus de berekening moeten maken. Als er dan met deze parameters (lees: deze waarden voor \( \mu \) en \( \sigma \)) uit de berekening een getal komt dat onwaarschijnlijk is (lees: een erg kleine kans), dan komt dat waarschijnlijk doordat de aanname dat \( \mu = 93 \) onjuist was. Je verwerpt dan \( H_0 \) ten gunste van \( H_1 \).
Ter illustratie: als je met je steekproef een gemiddelde vindt van \( \mu = 50 \) dan is als b.v. \( X \sim N(50,4) \) de kans dat \( P(X \leq 50) \) veel groter dan in het geval \( X \sim N(100,4) \). Ga maar na: hoe verder naar links, des te dunner wordt de staart van een normale verdeling. Als je dus onder de aanname \( X \sim N(100,4) \) kunt laten zien dat de kans \( P(X \leq 50) \) heel klein is, dan is het waarschijnlijker dat de verdeling meer naar links ligt, dus dat b.v. \( X \sim N(50,4) \) of \( X \sim N(63,4) \) of wat dan ook, in ieder geval \(\mu < 100 \). Samenvattend: bij \( H_0 \) zet je zoals het nu is en onder \( H_1 \) zet je wat jij denkt dat het moet zijn.
\( X \sim N(\mu,\sigma^2) \) is inderdaad de wiskunde vertaling voor de woorden: '\( X \) is normaal verdeeld met gemiddelde \( \mu \) en variantie \( \sigma^2 \)', of: '\( X \) is normaal verdeeld met gemiddelde \( \mu \) en standaarddeviatie \( \sigma \)'. Ik ken niet de notatie van de middelbare school, maar als ik je goed begrijp schrijven jullie: '\( X \) is \( No\rm(\mu,\sigma) \) verdeeld'. Vandaar dat ik dus \( \sigma^2 \) schrijf.
Het lijkt mij dat het berekenen van de standaarddeviatie niet nodig is voor het oplossen van dit vraagstuk, maar ik weet natuurlijk niet hoe in jullie leerboek toetsen worden uitgevoerd en wat jullie docent behandeld. Het stukje in opgave 1: ' ... (Beiden in 1 decimaal nauwkeurig.) ' lijkt mij dus gewoon een drukfout. Toetsen of de verdeling van de steekproef overeen komt met de gegeven verdeling, dus of zowel \( \mu \) als \( \sigma \) overeenstemmen, dat is een stuk lastiger.
Maar omdat de steekproef bestaat uit slechts 12 metingen - dat is voor een steekproef heel weinig, maar dat is vast gedaan omdat jullie anders een uur lang waarden aan het intypen zijn om het gemiddelde te berekenen - is het dus meest voor de handliggend dat je toetst of de gemiddelde rijsnelheid beinvloed is door de campagne; of de standaarddeviatie wel of niet is veranderd, dat zal je worst wezen.
Ter illustratie: als je met je steekproef een gemiddelde vindt van \( \mu = 50 \) dan is als b.v. \( X \sim N(50,4) \) de kans dat \( P(X \leq 50) \) veel groter dan in het geval \( X \sim N(100,4) \). Ga maar na: hoe verder naar links, des te dunner wordt de staart van een normale verdeling. Als je dus onder de aanname \( X \sim N(100,4) \) kunt laten zien dat de kans \( P(X \leq 50) \) heel klein is, dan is het waarschijnlijker dat de verdeling meer naar links ligt, dus dat b.v. \( X \sim N(50,4) \) of \( X \sim N(63,4) \) of wat dan ook, in ieder geval \(\mu < 100 \). Samenvattend: bij \( H_0 \) zet je zoals het nu is en onder \( H_1 \) zet je wat jij denkt dat het moet zijn.
\( X \sim N(\mu,\sigma^2) \) is inderdaad de wiskunde vertaling voor de woorden: '\( X \) is normaal verdeeld met gemiddelde \( \mu \) en variantie \( \sigma^2 \)', of: '\( X \) is normaal verdeeld met gemiddelde \( \mu \) en standaarddeviatie \( \sigma \)'. Ik ken niet de notatie van de middelbare school, maar als ik je goed begrijp schrijven jullie: '\( X \) is \( No\rm(\mu,\sigma) \) verdeeld'. Vandaar dat ik dus \( \sigma^2 \) schrijf.
Het lijkt mij dat het berekenen van de standaarddeviatie niet nodig is voor het oplossen van dit vraagstuk, maar ik weet natuurlijk niet hoe in jullie leerboek toetsen worden uitgevoerd en wat jullie docent behandeld. Het stukje in opgave 1: ' ... (Beiden in 1 decimaal nauwkeurig.) ' lijkt mij dus gewoon een drukfout. Toetsen of de verdeling van de steekproef overeen komt met de gegeven verdeling, dus of zowel \( \mu \) als \( \sigma \) overeenstemmen, dat is een stuk lastiger.
Maar omdat de steekproef bestaat uit slechts 12 metingen - dat is voor een steekproef heel weinig, maar dat is vast gedaan omdat jullie anders een uur lang waarden aan het intypen zijn om het gemiddelde te berekenen - is het dus meest voor de handliggend dat je toetst of de gemiddelde rijsnelheid beinvloed is door de campagne; of de standaarddeviatie wel of niet is veranderd, dat zal je worst wezen.
-
- Berichten: 96
Re: [Wiskunde] snelheid steekproef toetsen
Volgens mij @dr. E. Noether ben je de wortel N-wet vergeten!
Dat heb je goed gezien, Jimmy! Dat verandert wellicht de conclusie...
-
- Berichten: 45
Re: [Wiskunde] snelheid steekproef toetsen
We schrijven idd de X als
Maar is het niet dat als je de gemiddelde pakt van een meting (in dit geval 12 metingen) je de wortel N-wet moet toepassen?
Want als ik het uitreken met
\(No\rm(\mu,\sigma)\)
-verdeeldMaar is het niet dat als je de gemiddelde pakt van een meting (in dit geval 12 metingen) je de wortel N-wet moet toepassen?
Want als ik het uitreken met
\(\sigma = 9,8\)
dan krijg ik als antwoord: 0,1713 > \(\alpha\)
Maar als ik \(\sigma = \frac{9,8}{\sqrt{12}} = 2,83\)
krijg ik als antwoord: 0,0005077 < \(\alpha\)
Dus er zit wel wat verschil, de een is wel H0 behouden en ander juist niet.