Springen naar inhoud

steradialen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44820 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 maart 2006 - 22:02

gegeven: een piramide met grondvlak 7,5 x 7,5 m, en een hoogte van 2,9 m

ik zoek een bol waarin die piramide z past, dat de top van de piramide zich in het middelpunt van de bol bevindt, en de hoekpunten van het grondvlak precies de bol binnenin raken.

Ik ben maar een simpele jongen, dus ik roep Pythagoras erbij. Een schuine ribbe van mijn piramide is dan immers netjes de straal van mijn bol.

:roll: (3,752 + 3,752)= de halve diagonaal van het grondvlak = 5,303 m

Deze in het kwadraat + de hoogte van mijn piramide in't kwadraat is de ribbe (is straal bol) in het kwadraat.
r= :P (5,3032 + 2,92)= 6,044 m

Zover ben ikzelf. Kan ik nog.

Dan iets wat mij nooit geleerd is:
Ik laat van de piramide alleen het grondvlak liggen, en maak dat ondoorzichtig. In het midden van de bol, op de voormalige top van de piramide dus, plaats ik een lamp en laat die schijnen. Lichtstralen schijnen alleen rechtdoor, en de stralen die op de vloer (het voormalige grondvlak van de piramide vallen) komen dus niet op de binnezijde van de bol terecht. Dat deel onder die vloer blijft dus beschaduwd.

Vraag: hoeveel steradialen worden beschaduwd. En hoeveel belicht.

Ik verleng dus eigenlijk de voormalige schuine zijden van mijn piramide totdat ze een deel van de bol naadloos afsluiten van de rest. Eigenlijk hoef ik dus alleen te weten hoeveel steradialen de tophoek van mijn piramide omvat. En liefst in een formule die ook voor rechthoekige grondvlakken en wie weet ook voor andersvormige grondvlakken bruikbaar is.
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 maart 2006 - 09:27

Vraag: hoeveel steradialen worden beschaduwd. En hoeveel belicht.


Ik zou deze vraag alsvolgt oplossen:

Het grondvlak van de piramide is een vierkant. Dit vierkant is te zien als een onderdeel van een kubus die ook binnen de bol past (7,5 x 7,5 x 7,5). Gezien door de zijvlakken van die kubus wordt het boloppervlak opgedeeld in 6 delen. Omdat het totale oppervlak met LaTeX steradialen overeenkomt, is een zesde hiervan het deel dat gezocht wordt.

Het beschaduwde deel is dus LaTeX steradialen. Het belichte deel is de rest.

#3

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44820 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 14 maart 2006 - 09:41

Evolbro schrijft:

Dit vierkant is te zien als een onderdeel van een kubus die ook binnen de bol past (7,5 x 7,5 x 7,5).

Dat is een misverstand. De hoogte van de piramide is maar 2,9 m, dus de "kubus" zou niet 7,5x7,5x7,5 maar 7,5x7,5x 5,8 meten, en dus geen kubus zijn.
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#4

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 maart 2006 - 11:13

Dat is een misverstand. De hoogte van de piramide is maar 2,9 m, dus de "kubus" zou niet 7,5x7,5x7,5 maar 7,5x7,5x 5,8 meten, en dus geen kubus zijn.


Je hebt helemaal gelijk. Stom van me...

#5

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9898 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 14 maart 2006 - 20:00

Ja, dit is niet eenvoudig.
Probeer uit te gaan van het verlichte deel van de bol. Dit is opgebouwd uit vier halve bollen, bepaald door de vier zijvlakken van de pyramide, die elkaar gedeeltelijk overlappen. Neem (bv) twee overstaande vlakken, de bijbehorende halve bollen overlappen elkaar door een tweevlakshoek waarvan de hoek alpha bekend is, de opp van het overlappende deel is dan
LaTeX ,
hierin is r de straal van de bol.

Misschien heb ik je op weg geholpen?

#6

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44820 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 14 maart 2006 - 20:31

Safe, goedbedoeld en bedankt, maar ik weet niet wat je bedoelt met een tweevlakshoek. :roll:

En als ik uit jouw formule de pi wegdeel en de 2 en de 4 op elkaar deel hou ik
2 alfa.gif r2 over ??

Zoals je ziet zie ik niet waar je heen wil, spijtig misschien.
Kijk, zou ik zoiets tweedimensionaal moeten oplossen dan was het met mijn wetenschap simpel. Dan had ik een gelijkbenige driehoek in een cirkel ipv een piramide in een bol, en was de tophoek bijvoorbeeld 45 dan zou 45/360 (=1/8)deel van mijn cirkel onverlicht blijven.
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#7

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9898 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 14 maart 2006 - 21:00

Heb je wel idee van die elkaar overlappende halve bollen?

Bij een tweevlakshoek (stereometrie) moet je denken aan een bol die gesneden wordt door twee vlakken door het middelpunt. De snijlijn is dus een lijn door het middelpunt van de bol.
Haal je nu zo'n 'ruimtepunt' eruit dan is het deellichaam gevormd door snijvlakken en bolopp een tweevlakshoek en kan je de formule voor het bolopp eenvoudig controleren.

#8

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44820 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 14 maart 2006 - 21:27

Heb je wel idee van die elkaar overlappende halve bollen?

niet dus :roll:

Bij een tweevlakshoek (stereometrie) moet je denken aan een bol die gesneden wordt door twee vlakken door het middelpunt. De snijlijn is dus een lijn door het middelpunt van de bol.  
Haal je nu zo'n 'ruimtepunt' eruit dan is het deellichaam gevormd door snijvlakken en bolopp een tweevlakshoek en kan je de formule voor het bolopp eenvoudig controleren.

en nu wel al een beetje :P

Je hebt nu een wig uit een edammerkaasje gesneden, toch? 8)
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#9

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9898 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 14 maart 2006 - 22:56

Ja, mooi gevonden als beeld: 'een wig uit een edammer kaas'.
Maar essentiel is dat de snijlijn een middellijn is!

#10

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44820 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 14 maart 2006 - 23:41

Maar essentiel is dat de snijlijn een middellijn is!

Dat was me, en is me dus duidelijk.

Nou snijd ik die wig die jij bedoelt, laat hem braaf op zijn plaats zitten, en snijdt er dwars daarop nog precies zon wig uit, zodanig dus dat de tweevlakken haaks op elkaar staan en de snijlijnen/middellijnen in n vlak liggen.

Nou kan ik er een mooie piramide uithalen met een bol grondvlak. En dat bolle grondvlak is voor mij het beschaduwde deel. (Als je even teruggrijpt naar de oorspronkelijke bedoeling)

Dus wat ik nou van mijn piramide moet uitrekenen is de straal van mijn bol (dat had ik al eerder gedaan):

Ik ben maar een simpele jongen, dus ik roep Pythagoras erbij. Een schuine ribbe van mijn piramide is dan immers netjes de straal van mijn bol.  

:P (3,752 + 3,752)= de halve diagonaal van het grondvlak = 5,303 m

Deze in het kwadraat + de hoogte van mijn piramide in't kwadraat is de ribbe (is straal bol) in het kwadraat.
r= :roll: (5,3032 + 2,92)= 6,044 m

Ik moet nu nog even jouw hoek alfa.gif uitrekenen. Als ik een doorsnede door mijn piramide maak heb ik een gelijkbenige driehoek met een hoogte van 2,9 m en een basis van 7,5 m. Als ik die over de hoogtelijn in tween snij heb ik een rechthoekige driehoek met een aanliggende rechthoekszijde van 2,9 m en een overstaande rechthoekszijde van 3,75 m.
De tangens van alfa.gif is dan 3,75/2,9 =1,293,
en de hoek alfa.gif is dan tan-11,293 = 0,912 rad. (52,3)

alfa.gif is dus 1,824 rad

dat levert een beschaduwd boloppervlak volgens jouw formule van 133,26 m2

de hele bol heeft een oppervlak van 459,05 m2
het beschaduwde oppervlak is dan 29 %

Als ik terugga naar de lamp die ik op de top van de piramide had staan,, dan komt dus 29 % van het licht van die lamp op mijn vloer (grondvlak van de piramide)terecht . dat ga ik eens even checken. :P



EDIT>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
en dan is er ergens iets dat niet klopt. een andere bron komt op een veel lager beschaduwd deel uit:
Geplaatste afbeelding

Spijtig genoeg ben ik deze berekenig begonnen met een lamp die hoger boven de vloer hangt dan in deze thumbnail. Maar dat zou alleen maar moeten betekenen dat ik op een geringer percentage licht van mijn lamp op mijn vloer zou moeten uitkomen. Met de formule van safe kom ik juist hoger uit.

Wie zijn fout: Safe en ik, of de thumbnail ??
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#11

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9898 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 15 maart 2006 - 13:57

Het was een aanzet om even mee te denken.
Maar twee aangrenzende zijvlakken van de pyramide geven ook twee halve bollen die elkaar gedeeltelijk overlappen en de hoek β die deze met elkaar maken kan je vinden door de hoogtelijn h' in een zijvlaksdrh van uit een basispnt naar de opstaande ribbe te berekenen, dan geldt:
LaTeX
Je hebt dan nog eens 4 overlappingen.

Opm: Als je de lamp hoger aanbrengt zal het schaduwdeel kleiner worden.

#12

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44820 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 maart 2006 - 17:46

Als ik Safe nou goed begrijp was zijn eerste formuletje bedoeld om de bolle oppervlakte van de wig te berekenen. Geen wonder dat ik te hoog uitkom.

Echter, tot mijn spijt kan ik geen kaas maken van:

Maar twee aangrenzende zijvlakken van de pyramide geven ook twee halve bollen die elkaar gedeeltelijk overlappen en de hoek β die deze met elkaar maken kan je vinden door de hoogtelijn h' in een zijvlaksdrh van uit een basispnt naar de opstaande ribbe te berekenen, dan geldt:


Ik weet vrijwel geen enkele term uit deze quote in mijn piramide of bol te plaatsen :P

snap ik goed dat hoek beta.gif hier voor een vierkant piramidegrondvlak gelijk zal zijn aan hoek alfa.gif uit die eerste formule? En : hoogtelijn h' ,zijvlaksdrh van uit een basispnt, en de opstaande ribbe uit de rest van de quote zou ik niet durven aanwijzen op een plaatje..... :roll:
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#13

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9898 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 15 maart 2006 - 22:18

Er zijn, behalve het grondvlak, vier zijvlakken aan de pyramide. Als de basis een vierkant is met zijde a, dan zijn de zijvlaksdrh, gelijkbenige drh, basis a en benen r, de hoogtelijn h op de basis is bekend (met de gegevens uit te rekenen) en verder geldt: a*h=r*h'.

#14

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44820 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 maart 2006 - 22:55

Geplaatste afbeelding
http://mathworld.wol...SolidAngle.html


Mooi 3D plaatje voor Evilbro's geval van de kubus in de bol. Met de formule plus de afleiding hiervan via dubbele integralen. Niet dat ik daar iets mee kan om dat om te bouwen naar mijn geval, :roll: maar hij visualiseert het probleem.
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#15

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9898 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 15 maart 2006 - 23:09

Ja, een aardig plaatje. Maar nu de berekening, en het moet mogelijk zijn zonder integreren.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures