Springen naar inhoud

Oneven perfecte getallen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Melissa

    Melissa


  • >100 berichten
  • 169 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 maart 2006 - 15:22

Hallo!

ik had onlangs ergens gelezen dat het nog steeds niet bewezen is dat er geen oneven perfecte getallen bestaan. Perfecte getallen zijn getallen waarvan de som van zijn delers (zonder het getal zelf) terug het datzelfde getal geeft
bv 6 = 1+2+3 en het tweede perfecte getal is 28 = 1+2+4+7+14 enz...

Maar volgens mij is het gemakkelijk in te zien dat er geen oneven perfecte getallen bestaan! Er zijn namelijk reeds veel verbanden gevonden tussen perfecte getallen en priemgetallen.
Als je bv in volgende formule voor i een Mersenne priemgetal invult, bekom je de perfecte getallen:

2^(2i-1) - 2^(i-1) voor i=2 krijg je 6, voor i=3 28, voor i=5 496 (het derde perfecte getal) enzovoort...

Het is ook zo dat een perfect getal, geschreven in een binair talstelsel: er steeds zo uitziet:

6: 110 2 eentjes, 1 nul
28: 11100 3 eentjes, 2 nullen
496: 111110000 5 eentjes, 4 nullen
8128: 1111111000000 7 eentjes, 6 nullen
enz...
Het aantal eentjes zijn steeds Mersenne priemgetallen, en het aantal nullen is gewoon het priemgetal min 1.
DUS kan men de perfecte getallen ook schrijven als volgt:
6 = 110 = 0*2^0 + 1*2^1 + 1*2^2
28 = 11100 = 0*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 + 1*2^3 + 1*2^4
enz...
zoals men dus gemakkelijk kan inzien, bestaan alle perfecte getallen uit de som van enkel even getallen ==> er bestaat geen oneven perfect getal!? (dit kun je trouwens al onmiddellijk zien omdat de perfecte getallen binair geschreven steeds op een nul eindigen ==> even!

Ook merk je dat perfecte getallen heel bijzonder in elkaar zitten:
6 = 1+2+3 = 2^0 + 2^1+ (2^2 - 2^0)
28 = 1+2+4+7+14 = 2^0 + 2^1 + 2^2 + (2^3 - 2^0) + (2^4 - 2^1)
496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + (2^5 - 2^0) + (2^6 - 2^1) + (2^7 - 2^2) + (2^8 - 2^3)
enz...

merk ook op dat bij de laatste delers ook gewoon telkens maal 2 wordt gedaan...
Het perfecte getal zelf is ook een deler van zichzelf, dus 496 is eigelijk niets anders dan 2^9 - 2^4 of meer algemeen, voor eender welk perfect getal P geldt: P=2^(een getal) - 2^(een ander getal) en dit is altijd even natuurlijk!

Zou iemand me meer informatie over perfecte getallen kunnen geven en misschien mijn denkpatroon kunnen doortrekken en/of verbeteren want het interesseert me enorm... :roll:

Bedankt!
Melissa

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Diadem

    Diadem


  • >25 berichten
  • 78 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 maart 2006 - 16:05

Het is inderdaad zo dat nog steeds niet bewezen is of er oneven perfecte getallen bestaan.

Het klopt inderdaad dat 2^(n-1) (2^n - 1) = 2^(2n-1) - 2^(n-1) een perfect getal geeft als n een Mersenne priem is. Euler heeft bewezen dat alle even perfecte getallen door deze reeks gegeven worden. Er is dus een 1-op-1 relatie tussen even perfecte getallen en Mersenne priemgetallen.

Maar deze bewijzen gelden dus alleen voor even perfecte getallen. Je kunt bijvoorbeeld ook bewijzen dat alle even perfecte getallen eindigen op een 6 of een 8.

Hieruit kun je echter geen enkele conclusie trekken over oneven perfecte getallen. Men weet dus nog steeds niet of er oneven perfecte getallen bestaan. Als er een oneven perfect getal bestaat moet hij overigens groter dan 10^300 zijn :roll:

#3

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 maart 2006 - 21:35

als je de multiplicativiteit van de sigma functie kent is het echt niet zo moeilijk om in te zien waarom elk even perfect getal zo moet zijn

maar als het je echt zo interesseert, moet je aliquot rijen bestuderen
een aliquot deel van een natuurlijk getal is een positieve deler dat niet het getal zelf is

als je die allemaal optelt, krijg je die sigma min het getal zelf
bij perfecte getal is het getal dus precies de som van zijn aliquot delen


wel wat gebeurt er nu als je een aliquot som pakt, dan nog es , dan nog es, enzovoort

bijvoorbeeld : 10,8,7,1,0,0,0,0....


wat kan er nu allemaal gebeuren? vanalles!
de rij kan periodiek zijn, zoals 1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, ....
de rij kan na een tijdje periodiek worden : 65,25,6,6,6,6,6

het zou ook kunnen gebeuren dat de rij nooit periodiek wordt, dat je altijd nieuwe getallen dus vindt
maar tot nu toe is dat nog steeds niet ontdekt

Een bevriend getal krijg je als je periode twee is , de twee elementen noemt men een bevriend koppel 220 en 284 zijn voorbeelden

als je het engels niet schuwt (de meeste degelijke informatie is in het engels wat wiskunde betreft) http://en.wikipedia....liquot_sequence[/url]

#4

JVV

    JVV


  • >100 berichten
  • 123 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 maart 2006 - 15:44

Er is in het verleden wel wat vooruitgang geboekt wat betreft oneven perfecte getallen. Zo zijn er een aantal voorwaarden waar een zo'n oneven perfect getal aan moet voldoen. Dat kan je hier lezen;
http://en.wikipedia....Perfect_numbers

Een aantal (misschien wel allemaal) van die uitspraken maken gebruik van 'eenvoudige' regels die Euler heeft opgestelt, nl;

De algemene regel waaraan een perfect getal (N) aan moet voldoen;
1. Som(N) = 2N
Let op: Euler telde ook het getal N mee in de som. Som(6) = 1+2+3+6 = 12 = 2*6

Wanneer een getal N een bestaat uit slechts 1 soort priemgetal (p) dan geldt;
2. Som(N) = Som(p^s) = p^s+p^(s-1)+p^(s-2)+...+1 = [p^(s+1)-1]/[p-1]
Met N=p^s
Het is eenvoudig aan te tonen dat een oneven getal (N) op deze manier (bestaat uit 1 soort priemgetal (p>2)) nooit een perfect getal kan zijn. Som(N) kan nooit gelijk zijn aan 2N. Oftewel: [p^(s+1)-1]/[p-1] :roll: 2*p^s

Wanneer een getal (N) een product is van meerdere typen priemgetallen dan geldt
3. Som(N) = Som(p1^s1)*Som(p2^s2)*...)
Neem als voorbeeld het getal 45, dat een product is van 2 typen priemgetallen 3 en 5. N= 45 = 3*3*5 = (3^2)(5^1)
Som(45) = som(3^2)*som(5^1) = (3^2+3^1+3^0)(5^1+5^0) = 13*6 = 78
Som(45) = 1+3+5+9+15+45 = 78

Met de laatste formule kan je ook vrij eenvoudig bewijzen dat een oneven getal N ook nooit een perfect getal kan zijn wanneer het uit 2 priemgetallen bestaat, etc.

Merk op dat het overgrote deel van oneven getallen (N) een som hebben die kleiner is dan 2N. Het getal 945 heeft echter een grotere som dan 2N, nl. som(945) = 1920.

Ik hoop dat ik je enigszins geholpen heb met deze informatie.
"Simplicity does not come of itself but must be created."

#5

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 03 april 2006 - 21:33

Een oneven perfect getal is van de vorm p4k+1n2 (p priem van de vorm 4s+1, p geen deler van n).
Dit is niet zo moeilijk zelf te bewijzen.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures